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equation nombre complexe avec z et z barre
Salut. Alors voilà j'ai un DM à remettre bientôt mais je suis bloqué à cause d'un exercice.
Exercice1
Résoudre dans C les équations d'inconnue z:
1. (2+2i)z barre-5i=0
2. z+2z barre=6+i
3. 3(1+i)z=1-iz barre
4. ((3-2i)z)/(z+2) = i-5
voilà c'que j'ai fait:
1. z barre= (10/13) +(15/13)i
donc z =(10/13) -(15/13)i
2. z= 2-i
3. on pose z= a+ib et z barre=a-ib
3(1+i)z=1-iz barre
(3+3i)(a+ib)= 1-i(a-ib)
(3+3i)(a+ib)-1=-i(a-ib)
3a-3ib+"ia-"b-1=-ia-b
3a-2b-1+i(4a+3b)=0
par identification,
3a-2b-1=0 a=3/17
4a+3b=0 b=4/17
ici quand je vérifie mes résultats ils ne sont pas bon
4. ((3-2i)z)/(z+2) = i-5 on pose z=a+ib
((3-2i)(a+ib))/((a+ib)+2) = i-5
(3a+3ib-2ia+2b)/((a+ib)+2)-i= -5
et là je suis bloqué.
salut
en notant z* le conjugué de z ...
3(1 + i)z = 1 - iz*
en prenant le conjugué
3(1 - i)z* = 1 + iz
on additionne membre à membre
3(z + z*) + 3i(z - z*) = 2 + i(z - z*) <=> 3(z + z*) + 2i(z - z*) = 2
donc si z = a + ib
3(2a) + 2i(2ib) = 2 <=> 6a - 4b = 2 <=> b = (3a - 1)/2
donc z = a + i (3a - 1)/2
à vérifier ....
(3 - 2i)z/(z + 2) = i - 5 <=> (3 - 2i)z = (i - 5)(z + 2)
puis développer et réduire (équation du premier degré en l'inconnue z)
...
Pour le 3 je comprends ce qui a été fais mais pourquoi "a" reste-il inconnu?
Quand au 4 je trouve z= 16/73+i6/73
mais quand je test je trouve 3-2i
non 4 pas la peine de poser z = a + ib
simple produit en croix ((3-2i)z)/(z+2) = i-5 
(3-2i)z = (i-5)(z+2)
(3-2i -(i-5))z = 2(i-5) z = 2(i-5)/(8-3i) =2(i-5)(8+3i) /(8²+3²) = -86/73-14i/73
je vais le faire avec la méthode carpediem :
3(1+i)z=1-iz* on prend le conjugué du tout
3(1-i)z*=1+iz (ne pas oublié que le conjugué de i est -i)
3(1+i)z + i z* = 1
-iz + 3(1-i)z* = 1
on multiplie par "3(1-i) la première et par i la seconde et on les soustrait (pour se débarrasser des z*)
9(1+i)(1-i)z -z = 3(1-i) - i
17z = 3-4i z = 3/17 -4i/17
donc tu avais presque bon, seulement b = -4/17 et pas +
oui pour le3/ une fois qu'on a z en fonction de a on remplace dans l'équation de départ pour trouver a
la bifurcation de Glapion exprime z en fonction de z* et on remplace pour n'avoir qu'une équation avec z
D'accord merci j'ai pu identifier mon erreur pour le 3. Mais pourquoi pour le 1 le z n'est-il pas (10/13)-(15/10)i.
(3+2i)z*-5i=0
z*=5i/(3+2i)
z*=((5i)(3-2i))/((3+2i)(3-2i))
z*=(10/13)+(15/13)i
donc z= (10/13)-(15/13)i
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