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Equation paramétrée
Posté par F22Raptor
Bonsoir;
Je bloque sur une question donnée dans un devoir de maison:
On a l'équation paramétré par un réel m différent de 2, d'inconnus x:
(m+2)x² - (m+4)x + 2-m =0
1)Démontrer qu'il y'a une relation entre les solutions de cette équation dans le cas où ces dernières sont indépendantes du paramètre m.
Et ça fait un certain moment que je bloque, c'est pour ça que je sollicite votre aide!
Merci beaucoup !
Bah déjà j'ai trouvé les points indépendants de m de la fonction dont l'expression est notre équation, mais comme vous vous en doutez ça ne m'a mené à rien.
J'ai aussi calculé le discriminant et ainsi j'ai eu les solutions de cette équation en fonction de m, mais ça m'aide pas trop.
J'ai pensé qu'il faudrait que je trouve l'expression des deux solutions indépendantes de l'équation mais j y'arrive pas...
Peux tu essayer d'être plus clair stp?
Je ne comprends pas le sens de tes phrases.
Écris tes calculs...
Petite correction
Je viens de me rendre compte que j'ai mal interprété la question, enfaite il nous demande de trouver une relation indépendante de m entre les deux solutions de l'équation.
C'est la relation entre les deux solutions qui doit etre indépendantes de m et non les solutions en elle meme
Non. Le coefficient de x2 est bien (m+2) et pas (m-2)
Ca m'étonne car on précise m different de 2. Or quand on divise par (m+2), c'est m=-2 qui pose problème...
ah oui vous avez raison regardez bien la photo c'est tout les réels à part -2.
Voila enfin, maintenant que le problème est bien posé, comment on le résout ?
Pour ax² + bx + c = 0
si x1 et x2 sont solutions alors x1 + x2 = -b/a et x1.x2 = c/a, mais même avec ça ...
C'est donc bien (m+2)x² - (m+4)x + 2-m =0
Dommage. Il y aurait eu une réponse facile avec le produit des racines...
Je cherche un peu
Sur le sujet, on te parle plus loin de l'inverse des racines (non, je ne sais pas lire l'arabe ). Y aurait-il des indices à rechercher par la?
Bonsoir vous deux 
je crois qu'on trouve quelque chose en cherchant a et b tels que aS + bP = une constante.
C'est votre histoire de S et P qui m'y a fait penser.
A part je me suis bien pris le tête avec cette histoire de racines indépendantes de m . Ouf ce n'est pas cela.
Et maintenant, je vais au dodo. Bonne nuit !
Non, mais c'est à essayer pour trouver la relation demandée.
aS+bP=(a(m+4)+b(2-m))/(m+2)=c
((a-b)m+4a+2b)/(m+2)=c
Pour que ce soit indépendant de m, il faut (a-b)/1=(4a+2b)/2=c
a-b=c et 2a+b=c
a=b+c et 2(b+c)+b=c ou 3b=-c
En choisissant c=3, on obtient b=-1 et a=2
Soit finalement 2S-P=3
A vérifier...
Oui oui j'ai vérifié normalement c'est OK Et désolé d'avoir tarder pour répondre j'ai eu un souci de connexion !
J'ai été un peu stupide je sais pas pourquoi j'ai pas pensé à faire ça
Sinon Merci Beaucoup et Bonne nuit!
:D
Bonjour,
hors programme pour le démontrer mais le résultat est cohérent avec ce qu'on a trouvé ici par des moyens conventionnels.
F22Raptor @ 08-12-2020 à 21:46
j'ai trouvé les points indépendants de m de la fonction dont l'expression est notre équation,
j'ai trouvé les points indépendants de m de la fonction dont l'expression est notre équation,
c'est à dire les points A et B de ce graphique sur lequel il y a trois exemplaires de la fonction (pour trois valeurs de m) :
on peut s'intéresser à la droite (AB) et en particulier à son intersection C avec l'axe des abscisses
une droite Δ quelconque passant par C coupe (éventuellement) la parabole en D et E
alors .... (c'est la preuve de ça qui est hors programme, propriété générale des paraboles)
(xD -xC)(xE-xC) = constante = (xA-xC)(xB-xC) = 1
en particulier si la droite est l'axe des abscisses :
(xM-xC)(xN-xC) = 1
soit (x1-2)(x2-2) = 1 !
c'est à dire en développant : 2(x1+x2) - x1x2 = 3 !
c'est juste pour la curiosité de la chose
la "bonne" méthode étant ce qui a été fait par sanantonio312 ci-dessus
mais cela consolide son résultat.
salut
j'arrive après la bataille mais pour le fun (j'ai vu la demande d'aide ...
ce n'est pas hors programme mais vraiment une question mathématique intéressante quand on a un paramètre ...
cela a en particulier un intérêt pour toutes les courbes paramétrées ...
comme une droite dans l'espace ... où la "disparition" des deux paramètres conduit à l'apparition d'un système de deux équations : la droite est vue comme l'intersection de deux plans
dans le cas présent et en partant de l'idée de sanantonio312 on peut faire "très efficace de la façon suivante :
en notant u et v les racines on a pour tout m <> -2 :
on en déduit donc :
et on en déduit alors immédiatement que :
soit encore :
et je retrouve les résultats précédents ...
et il est bien plus intéressant de garder cette dernière relation car si on note M le point de coordonnées (u, v) alors cette relation nous montre que l'ensemble des points M lorsque m varie est une hyperbole et que ces racines peuvent prendre toutes les valeurs sauf 2