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Equation trigo

Posté par
Serbiwni 24-06-20 à 18:07

Bonjour je m'intéresse à l'équation trigonométrique suivante :
5\:\left(sin\left(x\right)^3\right)\ - \:5\:\left(cos\left(x\right)^3\right)\:=\:3\:sin\:x\:-\:5\:cos\:x
Je fais passer le membre de droite à gauche et j'applique la règle de Bioche en posant z = tan(x/2) ce qui me donne :
5\cdot \left(\frac{2z}{1+z^2}\right)^3-5\cdot \left(\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)^3-3\left(\frac{2z}{1+z^2}\right)+5\left(\frac{1-z^2}{1+z^2}\right) = 0
Qui revient à \frac{-6z^5-20z^4+28z^3+20z^2-6z}{\left(z^2+1\right)^3} = 0
0 est donc une solution évidente mais les autres racines ne le sont pas pour autant :
Cela revient à résoudre 3z^4+10z^3-14z^2-10z+3= 0 mais je ne sais pas trop comment le faire.
Quelqu'un aurait une idée à me proposer ?

Posté par
carpediemre : Equation trigo 24-06-20 à 18:14

salut

une équation bien difficile à résoudre ...

pas d'autres questions autour de celle-ci ?

Posté par Profil amethystere : Equation trigo 24-06-20 à 18:17

Bonjour

salut ! vite fait comme ça …oui bon oui je sais normalement je suis dans mon punk mais l'autre là il me course même dans mon punk (ça lui passera mais en attendant)

cos^3=cos^2 .cos
(sin^2+cos^2)sin=sin^3+cos^2sin=sin
(sin^2+cos^2)cos=cos^3+sin^2cos=cos
et là tu as mis un signe - donc imagine le smilblick que ça va faire camarade si tu le refait autrement

Posté par
Serbiwnire : Equation trigo 24-06-20 à 18:19

Non il faut juste la résoudre et le corrigé donne S = {kπ, arctan(−3) + kπ, arctan 1/2 + kπ avec k ∈ Z}

Posté par
Serbiwnire : Equation trigo 24-06-20 à 18:23

amethyste @ 24-06-2020 à 18:17

Bonjour

salut ! vite fait comme ça …oui bon oui je sais normalement je suis dans mon punk mais l'autre là il me course même dans mon punk (ça lui passera mais en attendant)

cos^3=cos^2 .cos
(sin^2+cos^2)sin=sin^3+cos^2sin=sin
(sin^2+cos^2)cos=cos^3+sin^2cos=cos
et là tu as mis un signe - donc imagine le smilblick que ça va faire camarade si tu le refait autrement


Je ne crois pas avoir saisi

Posté par
carpediemre : Equation trigo 24-06-20 à 18:23

je ne sais pas si z = tan (x/2) est le plus judicieux ...

avec t = tan x on obtient 5 \tan^3 x - 5 = 3 \tan x (1 + \tan^2 x) - 5(1 + \tan^2 x) qui est du troisième degré ...

en divisant par \cos^3x ... avec les précautions qui s'imposent ...

Posté par
Serbiwnire : Equation trigo 24-06-20 à 18:27

carpediem @ 24-06-2020 à 18:23

je ne sais pas si z = tan (x/2) est le plus judicieux ...

avec t = tan x on obtient 5 \tan^3 x - 5 = 3 \tan x (1 + \tan^2 x) - 5(1 + \tan^2 x) qui est du troisième degré ...

en divisant par \cos^3x ... avec les précautions qui s'imposent ...

Les tests d'invariance de Bioche imposent de prendre z = tan(x/2) je n'aurais bien évidemment pas avoir voulu avoir affaire à cette vilaine substitution de mon plein gré.

Posté par Profil amethystere : Equation trigo 24-06-20 à 18:27

t'es vraiment certain qu'avec les équations  trigos on peut rien faire?

Serbiwni @ 24-06-2020 à 18:23

amethyste @ 24-06-2020 à 18:17



Je ne crois pas avoir saisi


  cos^2+sin^2=1

ceci dit si on peut rien faire avec c'est possible aussi

Posté par
carpediemre : Equation trigo 24-06-20 à 18:44

Serbiwni @ 24-06-2020 à 18:27

Les tests d'invariance de Bioche imposent de prendre z = tan(x/2) je n'aurais bien évidemment pas avoir voulu avoir affaire à cette vilaine substitution de mon plein gré.
non ce n'est pas une obligation ... (cest une sorte de roue de secours ... qui parfois est à plat et ne permet pas de poursuivre sa route

d'ailleurs ma proposition permet de résoudre le pb et c'est la plus naturelle car la plus élémentaire ... (en se rappelant certaines formules de trigo)

Posté par
XZ19re : Equation trigo 24-06-20 à 18:46

Bonjour  
l''équation donné  par @Serbiwini  dans son premier message (j'ai pas vérifié si elle est bonne mais elle se résout facilement)  car   sont polynôme de  degré  5  dont on cherche les racines vaut  
z \left(2-8 z-2 z^2\right) \left(-3-2 z+3 z^2\right)

Par contre  si on pose z=e^{ix}  alors là ça marche tout seul.  

Posté par Profil amethystere : Equation trigo 24-06-20 à 18:49

ok on s'ai croisé Carpediem (on a écrit en même temps mais j'ai pas vérifié si quelqu'un avait posté un truc juste avant de valider)

dsl ? de toute façon ça se trouve j'ai dit une ***

  

Posté par
carpediemre : Equation trigo 24-06-20 à 19:01

XZ19 : honnêtement faut le factoriser ce polynome du quatrième degré !!!

par contre on a immédiatement

carpediem @ 24-06-2020 à 18:23

5 \tan^3 x - 5 = 3 \tan x (1 + \tan^2 x) - 5(1 + \tan^2 x) qui est du troisième degré ...à coefficient constant nul donc la factorisation est triviale ...

en divisant par \cos^3x ... avec les précautions qui s'imposent ...

Posté par
XZ19re : Equation trigo 24-06-20 à 19:53

Ben oui en quelques sorte  "j'ai triché" . C'est   à dire  qu'en posant $z=exp(i*x)$   on  a une équation de degré 3  dont je sait que 1 est racine.  J'ai donc une équation de degré 2.
Ensuite c'est un simple de jeu de passe-passe  que de trouver la factorisation du polynôme  en question.
Autrement dit $z=exp(i*x)$  est un bon changement de variable.  

Posté par
Serbiwnire : Equation trigo 24-06-20 à 22:36

Merci pour vos réponses.
J'ai trouvé cette proposition qui facilite beaucoup les choses :
5 \, sin^3(x) - 5 cos^3(x) - 3 sin(x) + 5 cos(x) = 0
\Leftrightarrow - sin(x) ( cos(x) - 2 sin(x)) (3 cos(x) + sin(x)) = 0
La factorisation proposée est correcte et donne les solutions du corrigé.

Je me demande comment on parvient à cette factorisation, elle ne me saute pas aux yeux

Posté par
lionel52re : Equation trigo 24-06-20 à 23:04

5sin^3 - 5cos^3 = 5(sin - cos)(1 + sin.cos) = 5sin - 5cos + 5sin^2 cos - 5sin cos^2

Du coup quand tu egalises
2sin + 5sin(sincos - cos^2) = 0

Soit

sin(2 + 5sincos - 5cos^2) = 0
sin(2sin^2 + 5sincos -3cos^2) = 0

Et là ca commence a apparaitre...

Posté par
lafol Moderateurre : Equation trigo 25-06-20 à 00:00

Bonsoir
pareil que lionel, en partant sur la factorisation de a cube moins b cube, j'arrive à 5(sin x - cos x)(sin x cos x) = -2 sinx, donc soit sin x = 0 (la première vague des solutions), soit 5(sinx - cos x) cos x = -2, et là on doit pouvoir arranger encore ça en réutilisant le fameux cos²+sin² , ou alors tout diviser par cos²x pour faire apparaître des tangentes

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation trigo 25-06-20 à 11:26

Bonjour,
En fait, pas besoin de a3-b3.
Il suffit de factoriser \; 5cos(x) - 5cos3(x) \; par\; 5cos(x) :
5cos(x) - 5cos3(x) = 5cos(x) ( 1 - cos2(x) ) = 5cos(x) sin2(x).

Avec \; D(x) = 5cos(x) - 5cos3(x) + 5sin3(x) - 3sin(x) ,
D(x) = sin(x) ( 5cos(x) sin(x) + 5sin2(x) - 3 )
Déjà dit, remplacer \; 3 \; par \; 3(cos2(x) + sin2(x)) \; donne
D(x) = sin(x) ( 2sin2(x) - 3cos2(x) + 5sin(x)cos(x) )

Continuer de factoriser ne me semble pas facile.
Mais \; D(x) = 0 \; est équivalent à
sin(x) = 0 \; ou \; 2 - 3(cos(x)/sin(x))2 + 5cos(x)/sin(x) = 0.
On peut poser \; X = cos(x)/sin(x) \; et factoriser \; -3X2 + 5X + 2 .

Posté par
lafol Moderateurre : Equation trigo 25-06-20 à 14:28

Encore mieux, oui

Posté par
carpediemre : Equation trigo 25-06-20 à 15:38

je n'ai malheureusement pas pu poster hier car pb de connexion mais Sylvieg fait exactement ce que je fais :

carpediem @ 24-06-2020 à 18:23

je ne sais pas si z = tan (x/2) est le plus judicieux ...

en divisant par \cos^3x ... avec les précautions qui s'imposent ...

avec t = tan x on obtient une équation du troisième degré dont le coefficient constant est nul

5 \tan^3 x - 5 = 3 \tan x (1 + \tan^2 x) - 5(1 + \tan^2 x) \blue \iff 2\tan^3 x + 5\tan^2 x-3 \tan x= 0 \iff \tan x (2 \tan^2 x + 5\tan x -3 ) = 0 \iff \tan x (2 \tan x - 1)(\tan x + 3) = 0
car 5 = 2\times 3 - 1 \times 1

et diviser par cos x ou cos ^3 x est la même chose ... tout comme l'identité \cos^2 x + \sin^2x= 1 est la même chose (équivaut à) que \dfrac 1 {\cos^2 x}=1+\tan ^2 x ... avec les condition qui s'impose ...


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