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équation trigonométrique

Posté par
Krempten 05-10-16 à 21:37

Salut,
Je trouve pas l'astuce pour résoudre cette équation:

cos(2x + y) + sin(x - y) = 0

j'ai pu développer: cos(2x + y) + sin(x - y) = sin(2x + y +\frac{\pi }{2}) + sin(x - y)

mais je vois pas comment poursuivre après

Posté par
Pirhore : équation trigonométrique 05-10-16 à 21:48

Bonsoir,

cos(2x+y)=sin(y-x)===> cos(2x+y)=cos[\dfrac{\pi}{2}-(y-x)]

cos(a)=cos(b).....

Posté par
philgr22re : équation trigonométrique 05-10-16 à 21:49

Bonsoir :
sin a = sin b .....

Posté par
philgr22re : équation trigonométrique 05-10-16 à 21:49

bonsoir pirho

Posté par
Pirhore : équation trigonométrique 05-10-16 à 21:54

bonsoir philgr22

c'est bien il aura une version sinus et une version cosinus

Posté par
Kremptenre : équation trigonométrique 05-10-16 à 22:09

pour la version cosinus:

cos(2x + y) = cos (\frac{\pi }{2} + x-y) \Leftrightarrow 2x + y =\frac{\pi }{2} + x-y \Leftrightarrow x + 2y =\frac{\pi }{2}

Donc: x + 2y =\frac{\pi }{2} + k\pi      k Z


Mais est-ce qu'il y a pas des solutions que j'ai oublié?

Posté par
Kremptenre : équation trigonométrique 05-10-16 à 22:21

pour la version sinus j'ai:

sin(2x+y+\frac{\pi }{2} = -sin(x-y)\Leftrightarrow 2x+ y +\frac{\pi }{2} = -x +y \Leftrightarrow 3x = -\frac{\pi }{2}

Comment est-ce que ça se fait que n'obtienne pas le même ensemble de solution qu'avec le cosinus?

Posté par
philgr22re : équation trigonométrique 05-10-16 à 22:24

je te rappelle que tu as deux series de solutions que ce soit en sinus ou cosinus....pense au cercle trigonometrique..

Posté par
Kremptenre : équation trigonométrique 05-10-16 à 22:34

Ah oui c'est vrai, j'avais oublié, ok merci

Posté par
lediletantexre : équation trigonométrique 08-10-16 à 15:59

Bonjour;

comme ceci;

\\ \sin p + \sin q = 2\sin \frac{1}{2}(p + q)\cos \frac{1}{2}(p - q) \\ \\ \cos p + \sin q = \sin (\frac{\pi }{2} - p) + \sin q \\ \\   \Rightarrow 2\sin \frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - p + q)\cos \frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - (p - q)) \\ \\   = 2\sin (\frac{\pi }{4} - \frac{{p - q}}{2})\cos (\frac{\pi }{4} - \frac{{p + q}}{2}) \\ \\ \cos (2x + y) + \sin (x - y) = 0 \\ \\   = 2\sin (\frac{\pi }{4} - \frac{{2x + y - x + y}}{2})\cos (\frac{\pi }{4} - \frac{{2x + y + x - y}}{2}) \\ \\   = 2\sin (\frac{\pi }{4} - \frac{{x + 2y}}{2})\cos (\frac{\pi }{4} - \frac{{3x}}{2}) = 0 \\ \\ \frac{\pi }{4} - \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} \\ \\ x =  - \frac{\pi }{6} \\ \\ y = \frac{\pi }{3}

Posté par
philgr22re : équation trigonométrique 08-10-16 à 19:16

lediletantex @ 08-10-2016 à 15:59

Bonjour;

comme ceci;

\\ \sin p + \sin q = 2\sin \frac{1}{2}(p + q)\cos \frac{1}{2}(p - q) \\ \\ \cos p + \sin q = \sin (\frac{\pi }{2} - p) + \sin q \\ \\   \Rightarrow 2\sin \frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - p + q)\cos \frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - (p - q)) \\ \\   = 2\sin (\frac{\pi }{4} - \frac{{p - q}}{2})\cos (\frac{\pi }{4} - \frac{{p + q}}{2}) \\ \\ \cos (2x + y) + \sin (x - y) = 0 \\ \\   = 2\sin (\frac{\pi }{4} - \frac{{2x + y - x + y}}{2})\cos (\frac{\pi }{4} - \frac{{2x + y + x - y}}{2}) \\ \\   = 2\sin (\frac{\pi }{4} - \frac{{x + 2y}}{2})\cos (\frac{\pi }{4} - \frac{{3x}}{2}) = 0 \\ \\ \frac{\pi }{4} - \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} \\ \\ x =  - \frac{\pi }{6} \\ \\ y = \frac{\pi }{3}

Bonsoir lediletantex,
ta methode est peut etre un peu longue...

Posté par
Razesre : équation trigonométrique 08-10-16 à 20:30

Krempten @ 05-10-2016 à 22:09

pour la version cosinus:

cos(2x + y) = cos (\frac{\pi }{2} + x-y) \Leftrightarrow 2x + y =\frac{\pi }{2} + x-y \Leftrightarrow x + 2y =\frac{\pi }{2}

Donc: x + 2y =\frac{\pi }{2} + k\pi      k Z


Mais est-ce qu'il y a pas des solutions que j'ai oublié?

il y a deux solutions:

\cos(2x + y) = \cos (\frac{\pi }{2} + x-y) \Leftrightarrow \cos A=\cos B
Les solutions sont:
A=B+2k\pi  et A=-B+2k\pi ; k\in\mathbb{Z}

Posté par
philgr22re : équation trigonométrique 08-10-16 à 21:36

Bonsoir razes .....
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