Niveau Maths sup

Equation trigonométrique

Posté par
LalaPTSI 30-11-17 à 21:42

Bonjour,

Je suis en 1ère année de prépa PTSI et pour m'exercer sur les fonctions trigonométriques j'ai voulu résoudre l'équation:

sin(3x)cos³(x) + sin³(x)cos(3x) = 3/4

je n'ai pas réussi donc j'ai regardé la correction qui donne pour les 2 premières lignes:

sin(3x)cos³(x) + sin³(x)cos(3x) = 3/4

<=> (3sin(x) - 4sin³(x))cos³(x) + sin³(x)(4cos³(x) - 3cos(x)) = 3/4

Malheureusement je ne comprends pas du tout le passage de la première ligne à la deuxième... J'ai pensé que ça pourrait être une adaptation de la formule cos(2a) = 2cos²(a) - 1 mais ca ne semble pas être le cas et dans le cas du sinus ça ne correspond pas du tout à sin(2a) = 2sin(a)cos(a)....

Pour moi c'est de la sorcellerie... Je ne comprends vraiment pas...

Merci de votre aide pour élucider ce mystère !

Posté par re : Equation trigonométrique 30-11-17 à 21:48

Bonsoir,

$sin(3x)=3 sin(x)-4 sin^3(x)$

$cos(3x)=4 cos^3(x)-3 cos(x)$

si tu n'as pas étudié les formules en cours, on peut les démontrer en partant de

$sin(3x)=sin(2x+x), cos(3x)=cos(2x+x)$

Posté par re : Equation trigonométrique 30-11-17 à 21:49

Bonsoir,

Vu que $e^{i\,x}=\cos\,x+i\,\sin\,x$ , alors, d'une part

$e^{i\,3\,x}=\cos\,3\,x+i\,\sin\,3\,x$

et, d'autre part

$e^{i\,3\,x}=\left(e^{i\,x}\right)^3=\left(\cos\,x+i\,\sin\,x\right)^3=\cdots$