Niveau Maths sup

Equation trigonométrique avec paramètre

Posté par
athrun 02-10-10 à 15:53

Bonjour,

je dois résoudre dans IR cette équation trigonométrique :

$\red\fbox{a\cos(2x)=4\sin x}$ , $a$ réel

j'ai fait ça :

( $\cos(2x)=2\cos^2x-1$ )

l'équation devient :

$2a\cos^2x-4\sqrt{1-\cos^2x}-a=0$

je pose $X=\cos^2x$ avec la condition $0\leq X\leq1$

et je tombe sur ce polynôme : $(4a^2)X^2+(16-4a^2)X+(a^2-16)=0$

qui a pour discriminant $\Delta=128(a^2+2)>0$ et racines :

$3$X=\frac{1}{2}-\frac{2}{a^2}\pm\frac{\sqrt{2(a^2+2)}}{a^2}$

bon je doute qu'il faille faire cela ... pouvez-vous m'aider ?

Posté par re : Equation trigonométrique avec paramètre 02-10-10 à 17:35

Bonjour,
je crois qu'il est plus simple d'écrire cos(2x)=1-2 sin²(x)

Puis de continuer comme tu l'a fait en prenant X=sin(x)

Posté par re : Equation trigonométrique avec paramètre 02-10-10 à 17:54

Bonjour merci pour votre réponse,

en effet cela simplifie un peu les choses, j'obtiens, avec $X=\sin x$ , $-1\leq X\leq1$ :

$2aX^2+4X-a=0$

$\Delta=8(2+a^2)$

$3$X=-\frac{1}{a}\pm\frac{\sqrt{2(2+a^2)}}{2a^2}$

et avec la condition sur X, il y a une condition sur a, je m'en sors pas

Posté par re : Equation trigonométrique avec paramètre 02-10-10 à 20:17

Je ne voit pas bien d'où vient le $a^2$ au dénominateur de ton expression.

je trouve $3$\frac{-2\pm\sqrt{2 a^2 + 4}}{2a}$ comme solutions.

On peut remarquer que le produits des solutions est $- \frac12$

Il y a donc au moins une solution de $2aX^2+4X-a=0$ qui est entre -1 et 1. L'équation trigonométrique a donc toujours des solutions (le cas a=0 étant évident).

Mais je dois avouer que je ne voit pas comment les exprimer de façon simple.

Posté par re : Equation trigonométrique avec paramètre 02-10-10 à 21:01

oui en effet c'est 2a et non 2a² au dénominateur.
En tout cas merci de ton aide

je repasserai sur ce calcul plus tard car je ne peux me permettre hélas de trop m'attarder