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Niveau seconde
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équations

Posté par
gabno
15-12-20 à 16:03

Bonjour, j'aimerais savoir si mes exercices sont justes ? merci d'avance
a. 1/x + 2/x+1 = 0
b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
c. x(x + 3) = x(2x-2)
d. 4x^3 + 9x = 12x²

Voilà mes réponses :
a. 1/x + 2/x+1 = 0
   = (3x + x²) = 0
   = -3 - v9 / 2 * 1
   = -3 - 3 /2*1
   = -3
La solution de l'équation est [-3].

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
    = 8+6x-10x² / 4x = 0
   = (8+6x-10x²) = 0
   = -6-v356 / 2*(-10)
   = -6-2*v89 / 2*(-10)
   = 3+v89/10
ou
  = -6+v356/2*(-10)
  = -6+2*v89/2*(-10)
  = 3-v89/10
Les solutions de l'équation sont [3+v89/10 ; 3-v89/10].

c. x(x + 3) = x(2x-2)
   = -5-v25/2*(-1)
  = -5-5/2*(-1)
  = 5
ou
= -5+v25/2*(-1)
= -5+5/2*(-1)
= 0
Les solutions de l'équation sont [5 ; 0].

d. 4x^3 + 9x = 12x²
   = x(9-12x+4x²)
  = (-12)²-4*4*9
  = 12²+9(-4*4)
  = 0
ou
  = -12/2*4
= 3/2

Les solutions de l'équation sont [3/2 ; 0].

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 16:15

Bonjour

Les parenthèses sont indispensables

un ensemble se note entre accolades et un intervalle entre crochets

1 \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x}+1=0 \ ;\ \dfrac{3}{x}=-1 $d'où$ x=-3

oui mais qu'avez-vous fait ?

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 16:28

2)  \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{2}-x=\dfrac{5x}{2}-x

multiplication par  2x ; 4+3x=5x^2

5x^2-3x-4=0 \ ;\ x=\dfrac{3\pm\sqrt{89}}{10}

3x(x+3)=x(2x-2)\quad x(x+3)-x(2x-2)=0\iff x(x+3-2x-2)=0 \iff x(-x+5)=0

d'où x=0\quad  x=5



4 4x^3-12x^2+9x=0 \iff x(2x-3)^2=0

x=0 ou x=\dfrac{3}{2}

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 16:52

D'accord, merci pour les parenthèses.

a. 1/x + 2/x+1 = 0
   = (3x + x²) = 0
   = (-3 - √9) / 2 * 1
   = (-3 - 3) /(2*1)
  = -6/2
  d'où x = (-3)

La solution de l'équation est [-3].

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 16:54

ah d'accord, merci
Pour la c ? elle est juste ?

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 17:16

Ce que vous écrivez n'a guère de sens
les x disparaissent  puis reviennent à la fin, on ne sait d'où
Rédigez convenablement

Les résultats sont corrects mais il n'y a aucune rigueur

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 17:19

a. 1/x + 2/x+1 = 0
   = 1x + 3x
   = 3x/1x
   = 3/x = -1
   x = -3

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
    multiplication par 2x : 4+3x = 5x²
5x²-3x-4 = 0 ; x = 3≠√89/10
3x(x+3) = x(2x-2)  
x(x+3)-x(2x-2) = 0 ⇔ x(x+3-2x-2) = 0 ⇔ x(-x+5) = 0
d'où x = 0  ou   x = 5

c. x(x + 3) = x(2x-2)
   = -5-v25/2*(-1)
  = -5-5/2*(-1)
  = 5
ou
= -5+v25/2*(-1)
= -5+5/2*(-1)
= 0

x = 5  ou  x =  0

d. 4x^3 + 9x = 12x²
   = 4x^3 - 12x² + 9x = 0
⇔ x(2x - 3)² = 0

x = 0   ou  x = 3/2

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 17:27

Pourquoi des signes = partout ?

prenons le premier

1/x + 2/x+1 = 0 le texte
   = 1x + 3x   là on a 4x d'où cela vient mystère
   = 3x/1x       maintenant on a 3 et c'est = à ce qui précède !!!
   = 3/x = -1    encore =  à quoi ?
   x = -3         on aboutit bien à cela mais je doute que l'on puisse comprendre votre raisonnement

b mélange de deux équations

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 17:55

a. 1/x + 2/x+1 = 0
     3x = -1
     x = -3

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 18:04

c'est beaucoup mieux  pour la rédaction mais faux  

\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x}+1=0    le texte

\dfrac{3}{x}= -1 on voit bien que l'on a additionné  les termes en x et ajouté -1 aux deux membres

3=-x produit en croix

x=-3

l'ensemble solution est \{-3\}

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 18:14

ah d'accord merci.
La suite c'est à corriger aussi ?

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 18:20

Ce serait préférable pour ne pas dire indispensable

Vous pouvez vous appuyer sur le précédent et sur ce que j'avais déjà écrit 16 : 28

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 18:30

d'accord.

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
    4+3x = 5x²
5x²-3x-4 = 0 ; x = 3≠√89/10
3x(x+3) = x(2x-2)  
x(x+3)-x(2x-2) = 0 ⇔ x(x+3-2x-2) = 0 ⇔ x(-x+5) = 0
d'où x = 0  ou   x = 5

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 18:47

Il y a un mélange de deux équations

le texte d'abord  \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{2}-x=\dfrac{5x}{2}-x

on ajoute +x ;   \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5x}{2}

on multiplie les deux membres par 2x ce qui correspond au dénominateur commun

4+3x=5x^2 ou  5x^2-3x-4=0

équation du second degré  \Delta et la suite  

\Delta=89

x_1=\dfrac{3-\sqrt{89}}{10} ou  x_2=\dfrac{3+\sqrt{89}}{10}

l'ensemble solution est  \left\{\dfrac{3-\sqrt{89}}{10}~;~\dfrac{3+\sqrt{89}}{10}\right\}


c) x(x+3)=x(2x-2)

on regroupe et on met x en facteur  x(x+3-(2x-2))=0

On simplifie  x(5-x)=0

Pour qu'un produit de facteurs etc

x=0 ou 5-x=0
etc
l'ensemble solution est  etc

À vous de remplir les blancs

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 21:50

c. x(x + 3) = x(2x-2)
    x(x+3-(2x-2)) = 0
    x(5-x) = 0
    ∆= 25
x1 = -5-√25/2*(-1)  
x1 = -5-5/2*(-1) = 5

ou

  x2 = -5+√25/2*(-1)
  x2 = -5+5/2*(-1) = 0

D'où, x = 5  ou  x =  0
L'ensemble solution est {5 ; 0}.

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 22:11

Peut-être mais là vous prenez un marteau-pilon  pour écraser une mouche

Vous aviez déjà la factorisation

vous appliquez le produit nul  ce que j'avais commencé à citer

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 22:24

aïe, je ne sais plus

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 22:29

Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l'un au moins le soit

donc x=0 ou 5-x=0 soit x=0 ou x=5
on trouve bien la même chose mais ce n'est pas la peine  de développer puis de calculer \Delta et les solutions puisqu'on les avait déjà

La seule chose que cela prouve c'est que vous n'avez pas fait d'erreurs de calcul

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 22:33

Ok donc si j'ai bien compris j'ai écrit du surplus que je dois retirer

c. x(x + 3) = x(2x-2)
    x(x+3-(2x-2)) = 0
    ∆= 25
x1 = -5-√25/2*(-1)  
x1 = -5-5/2*(-1) = 5

ou

  x2 = -5+√25/2*(-1)
  x2 = -5+5/2*(-1) = 0

L'ensemble solution est {5 ; 0}.

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 22:46

tout simplement  x(x+3)=x(2x-2)

x(x+3)-x(2x-2)=0

on met x en facteur x(x+3-(2x-2))=0

On simplifie  x(5-x)=0

Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit

x=0 ou 5-x=0

x=0 ou 5-x=0 soit x=0 ou x=5

l'ensemble solution est  \{0~;~5\}

C'est ce que vous faisiez l'an dernier

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 22:58

oui merci.


d. 4x^3 + 9x = 12x²
   = 4x^3 - 12x² + 9x = 0
⇔ x(2x - 3)² = 0

x = 0   ou  x = 3/2

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 23:10

On peut ajouter 2 lignes  x(4x^2-12x+9)=0 et dire que l'on reconnaît une identité

On n'oublie pas de conclure.

C'est quand même plus compréhensible que ce que vous aviez écrit même si les résultats étaient corrects

Posté par
gabno
re : équations 15-12-20 à 23:39

tout à fait exacte, vous avez raison (je n'ai pas fait attention)

d. 4x^3 + 9x = 12x²
   = 4x^3 - 12x² + 9x = 0
⇔ x(4x²-12x+9) = 0
⇔ x(2x - 3)² = 0
      2x² - 2 * 3 - 3² = 2x² - 6 - 9

x = 0   ou  x = 3/2
Solution est [0 ; 3/2]

Posté par
hekla
re : équations 15-12-20 à 23:57

Non vous avez écrit un intervalle   ce sont des accolades

Posté par
gabno
re : équations 16-12-20 à 00:04

Ah mince,

d. 4x^3 + 9x = 12x²
   = 4x^3 - 12x² + 9x = 0
⇔ x(4x²-12x+9) = 0
⇔ x(2x - 3)² = 0
      2x² - 2 * 3 - 3² = 2x² - 6 - 9

x = 0   ou  x = 3/2
Solution est {0 ; 3/2}

Posté par
hekla
re : équations 16-12-20 à 00:15

Oui quoiqu'il y a encore un = qui ne sert à rien

Posté par
gabno
re : équations 16-12-20 à 00:25

Lesquels que je retire ?

Posté par
hekla
re : équations 16-12-20 à 00:28

Vous devriez le savoir

4x^3 + 9x = 12x²
  \cancel{=}4x^3 - 12x² + 9x = 0

Posté par
gabno
re : équations 16-12-20 à 00:30

je le savais mais merci comme même

Posté par
gabno
re : équations 16-12-20 à 09:18

bonjour.
Résumons et vous me dites si c'est bon.

a. 1/x + 2/x+1 = 0
     3x = -1
     3 = -x
     x = -3
L'ensemble solution est {-3}.

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
     x2/x + 3/2 = 5x/2 (dois-je mettre le signe entre x et 2 ?)
    4+3x = 5x²  ou  5x²-3x-4 = 0
    équation du second degré ∆
∆ = 89
x1 = 3-√89/10  ou   x2 = 3+√89/10

L'ensemble solution est {3-√89/10 ; 3+√89/10}.

c. x(x + 3) = x(2x-2)
    x(x+3)-x(2x-2) = 0
    x(x+3-(2x-2)) = 0
    x(5-x) = 0

x = 0  ou  5-x = 0  
soit x = 0  ou  x = 5    

L'ensemble solution est {5 ; 0}.

d. 4x^3 + 9x = 12x²
    4x^3 - 12x² + 9x = 0
⇔ x(4x²-12x+9) = 0
⇔ x(2x - 3)² = 0
      2x² - 2 * 3 - 3² = 2x² - 6 - 9

x = 0   ou  x = 3/2
L'ensemble solution est {0 ; 3/2}.

Posté par
hekla
re : équations 16-12-20 à 11:08

Citation :
merci \cancel{comme}  quand même


il aurait fallu préciser l'ensemble de définition donc chercher les valeurs interdites

a. 1/x + 2/x+1 = 0
     3/x = -1
     3 = -x
     x = -3
L'ensemble solution est {-3}.

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
   \cancel{  x}2/x + 3/2 = 5x/2 (dois-je mettre le signe entre x et 2 ?)
    4+3x = 5x²  ou  5x²-3x-4 = 0
    équation du second degré ∆
∆ = 89
x_1 = (3-√89)/10  ou   x_2 = (3+√89)/10

L'ensemble solution est {(3-√89)/10 ;( 3+√89)/10}.

Sans parenthèses il n'y a que le nombre \sqrt{89} qui est divisé par 10

c. x(x + 3) = x(2x-2)
    x(x+3)-x(2x-2) = 0
    x(x+3-(2x-2)) = 0
    x(5-x) = 0

x = 0  ou  5-x = 0  
soit x = 0  ou  x = 5    

L'ensemble solution est {5 ; 0}.

d. 4x^3 + 9x = 12x²
    4x^3 - 12x² + 9x = 0
⇔ x(4x²-12x+9) = 0
⇔ x(2x - 3)² = 0  car on peut remarquer que 4x² - 12x - 9 =(2x)² - 2 *2x* 3 + 3²  
      

x = 0   ou  x = 3/2

L'ensemble solution est {0 ; 3/2}.


Ces quelques petites corrections à faire et puis c'est tout bon

Posté par
gabno
re : équations 16-12-20 à 22:57

bonsoir désolé j'avais problème d'internet.
Merci pour la correction , je n'ai même pas fait attention à mon erreur "comme" c'est la fatigue :p

Merci énormément pour la correction de l'exercice, je vais prendre note .

Une dernière petite chose ==> il aurait fallu préciser l'ensemble de définition donc chercher les valeurs interdites ( je met quoi ?)

Posté par
hekla
re : équations 16-12-20 à 23:08

Ce que vous faites dans votre autre sujet
ici il n'y a pas trop de problèmes
il n'y a qu'en a et b qu'il y a un dénominateur  en plus c'est x

donc en a) et b) ajoutez x\not=0

Posté par
gabno
re : équations 16-12-20 à 23:29

Pas sur d'avoir bien ajouter au bon endroit pou a) et b) x ≠ 0

a. 1/x + 2/x+1 = 0
     3/x = -1
     3 = -x
     x = -3   et  x ≠ 0
L'ensemble solution est {-3}.

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
     2/x + 3/2 = 5x/2
    4+3x = 5x²  ou  5x²-3x-4 = 0 et x ≠ 0
    équation du second degré ∆
∆ = 89
x_1 = (3-√89)/10  ou   x_2 = (3+√89)/10

L'ensemble solution est {(3-√89)/10 ; ( 3+√89)/10}.

c. x(x + 3) = x(2x-2)
    x(x+3)-x(2x-2) = 0
    x(x+3-(2x-2)) = 0
    x(5-x) = 0

x = 0  ou  5-x = 0  
soit x = 0  ou  x = 5    

L'ensemble solution est {5 ; 0}.

d. 4x^3 + 9x = 12x²
    4x^3 - 12x² + 9x = 0
⇔ x(4x²-12x+9) = 0
⇔ x(2x - 3)² = 0  car on peut remarquer que 4x² - 12x - 9 = (2x)² - 2 *2x* 3 + 3²  
      
x = 0   ou  x = 3/2

L'ensemble solution est {0 ; 3/2}.

Posté par
hekla
re : équations 16-12-20 à 23:43

On peut le mettre deux fois

  la première fois  après le texte  cette équation n'a de sens que si x\not=0 et la seconde fois comme vous l'avez en vérifiant que la solution trouvée était bien différente de 0

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
cette équation n'a de sens que si  x\not=0
     2/x + 3/2 = 5x/2
x\not=0 on peut multiplier les deux membres par 2x

    4+3x = 5x²  ou  5x²-3x-4 = 0

Posté par
gabno
re : équations 16-12-20 à 23:52

D'accord, donc

a. 1/x + 2/x+1 = 0
     cette équation n'a de sens que si x ≠ 0
     3/x = -1
     3 = -x
     x = -3   et  x ≠ 0
L'ensemble solution est {-3}.

b. 2/x + 3/2-x = 5x/2-x
     cette équation n'a de sens que si x ≠ 0
     2/x + 3/2 = 5x/2
     x ≠ 0 on peut multiplier les deux membres par 2x
    4+3x = 5x²  ou  5x²-3x-4 = 0
    équation du second degré ∆
∆ = 89
x_1 = (3-√89)/10  ou   x_2 = (3+√89)/10

L'ensemble solution est {(3-√89)/10 ; ( 3+√89)/10}.

Posté par
hekla
re : équations 17-12-20 à 00:02

Oui ainsi on comprend bien que les dénominateurs sont non nuls,  que vous avez aussi pensé à vérifier que la condition  (x\not=  0) a bien été vérifiée

Posté par
gabno
re : équations 17-12-20 à 00:14

Merci

Posté par
hekla
re : équations 17-12-20 à 00:18

De rien



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