Je ne suis pas sûr d'avoir saisi s'il s'agit d'un seul exercice ou d'exercices différents.

Par conséquent, méfie-toi de ce qui suit:

1)

Poser y² = z
2y.y' = z'

yy' = z'/2

z'/2 + x = 0
z' = -2x

dz = -2x.dx
z = -x² + K

y = +/- V(K-x²)   (1)  (Avec V pour racine carrée).
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Poser y² = -z

2y.y' = -z'

yy' = -z'/2

-z'/2 + x = 0
z' = 2x

dz = 2x.dx
z = x² + K'

y² = -x² - K'

y = +/- V(K'-x²)  (2)
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(1) et (2) -->

y = +/- V(C - x²)

x² + y² = C. (cercles centrés sur l'origine pour C > 0)
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2)
Ce sont des cercles.

(y - A)² + (x - B)² = C²
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3)
y²(1+y'²)=1
y'² = (1/y²)-1
y'² = (1-y²)/y²

y' = +/- V((1-y²)/y²)

dy/dx = +/- V((1-y²)/y²)

dy . [y/V(1-y²)] = +/- dx

V(1-y²) = K +/- x
1-y² = (K +/- x)²

y² = 1 - (K +/- x)²

y = +/- V[1 - (K +/- x)²]

Et comme (K +/- x)² >= 0, on a 0 <= V[1 - (K +/- x)²] <= 1

Les valeurs que peut prendre y sont dans [-1 ; 1]

f(x) = +/- V[1 - (K +/- x)²]

f '(x) = (+/-).(-/+) (2(K +/- x) )/[2.V(1 - (K +/- x)²)]

f '(x) = -(2(K +/- x) )/[2.V(1 - (K +/- x)²)]

f ' (x) n'est jamais nul sur l'entièreté de Df --> pas de solution constante. (???)
f '(x) change de signe pour x = +/- K, il n'y a donc pas de solution strictement monotone sur Df. (???)

f(x) = +/- V[1 - (K +/- x)²]
y = +/- V[1 - (K +/- x)²]

y² = 1 - (K +/- x)²

Y² + (x +/- K)² = 1

Ce sont des cercles de centre (-/+ K ; 0) et de rayon 1.
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Sans aucune garantie.

1) y²+x²=k famille de cercles de centre O
2) la tangente a pour vecteur directeur 1, y' donc la normale a pour équation
1*(X-x)+y'(Y-y)=0 (X+y'Y)=x+yy'
Si toutes les normales passent par un point fixe X=a, Y=b on aura x+yy'-a-by'=0 soit en intégrant
x²+y²-2ax-2by+c=0 on retrouve l'équation générale d'un cercle (ce que l'on pouvait supposer a priori)
3) comme y'²>=0 , y²<=1
Si y strictement monotone y'²>0 donc y²<0 et yy'/(1-y²)^(1/2)=±1 donc (1-y²)^1/2-(1-y0²)^1/2=±x (pour x=0, y=y0 et en posant (1-y0²)^1/2=±x0
(x-x0)²+y²=1 on retrouve une équation de cercle.
Si y est constante y'=0 et y²=1 y=±1
4) l'équation de la tangente est y'(X-x)=Y-y qui coupe l'axe Ox au point X=x-y/y', Y=0 et le carré de la distance entre ce point et le point de contact est y²/y'²+y²=d²
y²(1+y'²)=d²y'²
y'²=y²/(d²-y²) ; yy'(d²-y²)^1/2/y²=±1
Posons d²-y²=u², uu'=-yy' et u²u'/(d²-u²)=±1
d²u'/(d²-u²)-u'=±1 donc dln((d+u)/(d-u))-u=±(x-x0) où y(x0)=d et u(x0)=0 donc x-x0=±dln((d+(d²-y²)^1/2)/y)-(d²-y²)^1/2
Si je ne me suis pas planté dans les calculs... pour ta culture, ça s'appelle une tractrice , c'est une développante de chaînette, et c'est plus sympa sous forme paramétrique du genre x=d(t-tht) y=d/cht

Merci beaucoup pour votre aide