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Equations aux dérivées partielles

Posté par
martizic 26-12-23 à 18:50

Bonjour à tous,
Tout d'abord, bonnes fêtes.
Ensuite, j'ai u n exercice avec lequel j'ai du mal...

Voici l'énoncé :

Soit f une application de classe C¹ de R² dans R et r ∈ R. On dit que f est homogène de degré r si :
∀(x, y) ∈ R², ∀t > 0, f(tx, ty) = t^r * f(x, y).

1. Montrer que si f est homogène de degré r, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré r − 1.

Voici ce que je pensais faire :
Dériver l'égalité par rapport à x, pour trouver que :
$t * \frac{\delta f}{\delta x}(tx, ty) = t^r * \frac{\delta f}{\delta x}(x, y)$ , et donc en passant le t de l'autre côté, on trouves bel et bien degré "r-1" et puis la même chose en dérivant par rapport à y.

Or, je crois que la formule pour dériver f(tx,ty) est :
$\frac{\delta f(tx,ty)}{\delta tx} * \frac{\delta tx}{x} + \frac{\delta f(tx,ty)}{\delta ty} * \frac{\delta ty}{x}$
Ce qui donne, $t * \frac{\delta f(tx,ty)}{\delta tx}$

Ainsi, je trouves $\frac{...}{\delta tx}$ au lieu de $\frac{...}{\delta x}$

Pouvez-vous me dire si j'ai fais une erreur svp? Merci d'avance!

Posté par re : Equations aux dérivées partielles 27-12-23 à 09:34

salut

en posant u(x) =tx tu dois dériver la fonction composée (x, y) --> f(u(x), u(y))

donc $\dfrac {\partial d} {\partial x} [f(u(x), u(y))] = ...$

Posté par re : Equations aux dérivées partielles 27-12-23 à 12:42

Cela ne revient il pas au même?

Car,
$\frac{\delta d}{\delta x}[f(u(x), u(y))] = \frac{\delta f(u(x),u(y))}{\delta u(x)} \times \frac{\delta u(x)}{\delta x} + \frac{\delta f(u(x),u(y))}{\delta u(y)} \times \frac{\delta u(y)}{\delta x} = t \times \frac{\delta f(u(x),u(y))}{\delta u(x)}$

Posté par re : Equations aux dérivées partielles 27-12-23 à 16:43

$\dfrac {\partial } {\partial x} [u(y)] = \dfrac d {dx} [u(y)] = 0$

Posté par re : Equations aux dérivées partielles 29-12-23 à 09:54

Bonjour,

@ martizic
Remarque.
Ce qu'on désigne ici par $f'_x(tx, ty)$ n'est pas la dérivée par rapport à $x$ de la fonction $(x,y) \to f(tx, ty)$ , mais la valeur de la dérivéepar rapport à $x$ de la fonction $(x,y) \to f(x, y)$ au point $(tx, ty)$ .

C'est donc bien ce que tu as noté $\dfrac{\delta f(tx,ty)}{\delta tx}$

Regarde ce qui se passe par exemple avec la fonction $f(x,y)=x^2y^2$

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