Bonjour.

Soit z une solution. Alors :



Ce qui prouve que z solution entraine solution.

2°) En principe, tu dois trouver P(1+i) = 0

bonjour

p(z) = z^4 - 6z^3 + 23z^2 - 34z + 26

moi je vais noter alpha=a et en majucule le conjugué d'un complexe

le conjugué de a est A

1) p(Z)=P(z) est une propriété des polynomes à coefficients réels.

en effet;
p(Z)= Z^4 - 6Z^3 + 23Z^2 - 34Z + 26
    =(z^4)Barre+(-6z^3)barre+(23z²)barre+(-34z)barre+26
    =(z^46z^3+23z²-34z+26)barre
    =P(z)   , en notant P le polynome conjugué du polynome p

donc
p(A)=0 ssi P(a)=0

donc si a est solution de p(z)=0 alors A est aussi solution de p(z)=0

2)P(1+i)=(1+i)^4-6(1+i)^3+23(1+i)²-34(1+i)+26

(1+i)²=1-1+2i=2i
(1+i)^3=2i(1+i)=2(-1+i)
(1+i)^4=(2i)²=-4
donc
p(1+i)=-4-6(2(-1+i))+23(2i)-34(1+i)+26
      =-4+12-34+26+i(-12+46-34)
      =38-38+i(46-46)
      =0
donc 1+i est solution de p(z)=0
d'après 1) 1-i conjugué de 1+i est aussi solution de p(z)=0

3a)Q(z)=z[z-(1+i)][z-(1-i)]
l'énoncé est incomplet

b) P(z)= z^4 - 6z^3 + 23z^2 - 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z^3((1+i)-6) + 23z^2 - 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z^3(-5+i) + 23z^2 - 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z²(-5+i)(1+i) + 23z^2 - 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z²(-6-4i) + 23z^2 - 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z²(17-4i) - 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z(17-4i)(z-(1+i))+z(17-4i)(1+i) - 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z(17-4i)(z-(1+i))+z(21+13i)- 34z + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z(17-4i)(z-(1+i))+z(-13+13i) + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z(17-4i)(z-(1+i))+(-13+13i)(z-(1+i))+13(-1+i)(1+i) + 26
       =z^3(z-(1+i))+z²(-5+i)(z-(1+i))+z(17-4i)(z-(1+i))+(-13+13i)(z-(1+i))
       =(z-(1+i))[z^3+z²(-5+i)+z(17-4i)+(-13+13i)]

comme 1-i est aussi solution donc
z^3+z²(-5+i)+z(17-4i)+(-13+13i)=z²(z-(1-i))+z²(1-i)+z²(-5+i)+z(17-4i)+(-13+13i)
                               =z²(z-(1-i))-4z²+z(17-4i)+(-13+13i)
                               =z²(z-(1-i))-4z(z-(1-i))-4z(1-i)+z(17-4i)+(-13+13i)
                               =z²(z-(1-i))-4z(z-(1-i))+13z+(-13+13i)
                               =z²(z-(1-i))-4z(z-(1-i))+13(z-(1-i))
                               =(z-(1-i))(z²-4z+13)

donc p(z)=(z-(1+i)(z-(1-i))(z²-4z+13)

c) p(z)=0 ssi z1=1+i et z2=1-i ou z²-4z+13=0

z²-4z+13=0
Délta=16-4*13=16-52=-36=(6i)²
z3=(4+6i)/2=2+3i
z4=2-3i



                               =

Je te remercie watik cela m'aide beaucoup car je ne savais pas du tout pas ou commencer mais je ne comprends pas vraiment comment tu fais pour la premiere question car en cours je n'ai pas vu ça...
Le fait que tu note alpha a et A le conjugué de a m'embrouille un peu... :-s
Et cette propriété p(Z)=P(z) est une propriété des polynomes à coefficients réels. je ne la connais pas :-s
Pourrais-tu m'expliquer d'avantage stp
Et pour cette question : Démontrez que pour P(alpha barre) = P barre ( alpha ) je ne comprends pas non plus comment tu fais !

Merci de ton aide !

Bonjour .J'ai le meme sujet a faire .Et je ne comprends pas comment faire pour la premiere question.Vous pouvez m'expliquet un peu plus?merci

raymond a tout dit ....

Comment demontrer la reponse de Raymond?

Bonjour. J'ai un sujet très similaire et je bloque à la question 3a qui est :

" en déduire que P est factorisable par un polynômes Q de degré 2 "

Je n'arrive pas a trouver la factorisation avec les deux racines, si quelqu'un pouvait m'aider ?

Merci d'avance

salut

si a est racine alors son conjugué a* aussi

donc P est factorisable par le polynome (z - a)(z - a*)

J'ai appris cette formule mais pour les polynômes 2 et c'était a(z-a1)(z-a2) acec a1 et a2 les deux racines
Ça marche aussi dans le cas d'un polynômes 4 ?
Et j'imagine que pour trouver une forme de degré 2 tu développe

bonjour
juste de passage

cette fiche peut t'intéresser 1-Cours sur les fonctions polynômes : généralités
au 5. Factorisation

pour factoriser P(z), la méthode par identification peut être intéressante ici...