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equations differentielles

Posté par
gunsouci 22-11-07 à 16:44

bonjour a tous, j ai plusieurs equations differentielles à resoudre, et j ai besoin d aide pour la premiere, apres je pense que j arriverai aux autres


y''+4y'+4y= e(-2x) / (x^2+1)^(1/2)

pour l equation homogene tout va bien, je trouve deux solutions e(-2t)  et puis t*e(-2t)

j ai verifié ca marche
mais pour le second membre ca se complique!

je ne comprend spas la methode de variation de la constante est ce que quelqu un peut m expliquer sur cet exemple concret svp,

merci!

Posté par
lafol Moderateurre : equations differentielles 22-11-07 à 17:26

Bonjour
variation DES constantes, ici !

tu as y = (A + Bt)e^{-2t} comme solutions générale de l'équation sans second membre.

tu repars de ça, mais en considérant A et B comme variables, tu dérives :

y'=(A' + B't + B - 2A -2Bt)e^{-2t} et là, l'astuce, c'est de décider que la partie en prime est nulle : \blue A' + B't = 0

il reste y'=(B - 2A -2Bt)e^{-2t} qu'on redérive :

y''=(B'-2A'-2B't-2B-2B+4A+4Bt)e^{-2t}=(B'-2A'-2B't-4B)e^{-2t}+4y, et on injecte dans l'équation de départ :

(B'-2A'-2B't-4B)e^{-2t}+4y + 4(B - 2A -2Bt)e^{-2t} +4y = \frac{e^{-2x}}{\sqrt{ x^2+1}}

on simplifie : il reste

\blue B'-2A'-2B't = \frac{e^{-2x}}{\sqrt{ x^2+1}}

les deux équations en bleu fournissent un système linéaire en A' et B' : je te laisse le résoudre et intégrer pour obtenir A et B ...

Posté par
lafol Moderateurre : equations differentielles 22-11-07 à 17:27

je suis repartie de ton post : les x et les t, c'est kif-kif ! remplace les t par des x, par cohérence avec l'énoncé

Posté par
gunsoucire : equations differentielles 22-11-07 à 18:01

alors j ai repris toutes tes explications, pour resoudre le systeme je trouve que B'=e(-2x)/(x^2+1)^(1/2)

mais ca je ne sais pas comment l integrer

a mon avis jdois avoir une erreur

ca m agace, j ai plein de fiches methodes, mais jcomprends pas, depuis cette apres midi, je n en peux plus !

Posté par
gunsoucire : equations differentielles 22-11-07 à 18:07

j ai essayé de faire avec le wronskien, mais c pareil je suis bloquee, pourquoi t amethode n utilise pas les solutions de l equation homogene trouvées?

Posté par
lafol Moderateurre : equations differentielles 22-11-07 à 22:50

Citation :
pourquoi ta methode n utilise pas les solutions de l equation homogene trouvées?


et ça :
Citation :
tu as ..... comme solution générale de l'équation sans second membre.

tu repars de ça, mais en considérant A et B comme variables, tu dérives : ....


ça n'utilise pas la solution générale de l'équation homogène (= sans second membre), peut-être ?

Posté par
lafol Moderateurre : equations differentielles 22-11-07 à 22:56

sinon,
\{A' + xB' = 0 \\ -2A'+(1-2x)B'=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x^2+1}}\.

donne bien B' comme tu dis


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