Niveau Maths sup

Equations Différentielles

Posté par alexone (invité) 02-11-04 à 12:49

Bonjour a toute la communauté, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice pas facile facile...

Soit (E) l'equation différentielle
ax²y'' + bxy' + cy = 0 avec (a,b,c) appartient à R*xRxR

1) demontrer que phi est une solution sur R+* de (E) si et seulement si la fonction x -> phi(-x) esst une solution sur R*- de (E)

2) On s'interesse maintenant aux solutions de (E) sur R+*. En posant z(t)=y(e^t), montrer que y est solution de (E) sur R+* si et seulement si z est solution d'une equation du second ordre à coefficients constants, que l'on donnera.

3) Quelle est la forme des solutions de (E) sur R+* ? sur R-* ?

4) Applications
a) reesoudre l'equation x²y'' - xy' + y = 0

b) determiner toutes les applications deux fois derivables sur R+* telles que, pour tout x appartient à R+*, f'(x) = f(1/x). On montrera que f est solution d'une equation du type precedent.

Merci beaucoup pour votre aide, cet exercice est vraiment difficile !

Posté par alexone (invité)re : Equations Différentielles 03-11-04 à 09:59

personne ?

Posté par re : Equations Différentielles 03-11-04 à 13:01

Bonjour

Voila ce que je propose pour la premiere question ( je cherche pour le reste )

1) Partons du fait que $\phi(-x)$ est solution de (E) sur $\mathbb{R}_{-}^{*}$

Cela veut dire que :
$ax^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\phi(-x)+bx\frac{d}{dx}\phi(-x)+c\phi(-x)=0$

Calculons les dérivées premieres et seconde de $\phi(-x)$ :

$\frac{d}{dx}\phi(-x)=-\phi'(-x)$
$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\phi(-x)=\phi''(-x)$

Notre équation devient alors :

$ax^{2}\phi''(-x)-bx\phi'(-x)+c\phi(-x)=0$

En posant : (-x)=u :
$a(-u)^{2}\phi''(u)-b(-u)\phi'(u)+c\phi(u)=0$

<=> $au^{2}\phi''(u)+bu\phi'(u)+c\phi(u)=0$
<=> $\phi$ solution de (E)

Donc si $\phi(-x)$ est solution de (E) sur $\mathbb{R}_{-}^{*}$ alors $\phi$ est solution de (E) sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$

Posté par alexone (invité)re : Equations Différentielles 03-11-04 à 13:18

merci beaucoup. Cependant je me demande si il ne faut pas faire la reciproque puisque l'on demande si et seulement si, non ?

Posté par re : Equations Différentielles 03-11-04 à 14:50

Si effectivement mais la réciproque est évidente maintenant évidente

Voici la question 2 et 3 :

On a $z(t)=y(e^{x})$

Partons de z est solution d'une équation du 2nd ordre a coefficiant constant

<=> z est solution de :
$\alpha y''+\beta y'+\gamma y=0$

<=> $\alpha z''+\beta z'+\gamma z=0$

Remplacons z par y(exp) :

l'équation devient alors :
$\alpha\frac{d^{2}}{dt^2}y(e^t)+\beta\frac{d}{dt}y(e^{t})+\gamma y(e^{t})=0$

on a :
$\frac{d}{dt}y(e^t)=e^{t}y'(e^{t})$
$\frac{d^{2}}{dt^2}y(e^t)=e^{t}y'(e^{t})+e^{2t}y''(e^{t}$

on a donc :
$\alpha(e^{t}y'(e^{t}))+e^{2t}y''(e^{t})+\beta e^{t}y'(e^{t})+\gamma y(e^{t})=0$
<=>
$\alpha e^{2t}y''(e^t)+(\alpha+\beta)e^{t}y'(e^{t})+\gamma y(e^{t})=0$

En posant :
$\alpha=a$
$\alpha+\beta=b$
$\gamma=c$
$e^{t}=x$

on a alors :
$ax^{2}+y''(x)+bxy'(x)+cy(x)=0$ c'est a dire y solution de (E)

L'équation du second ordre recherchée est alors :
$ay''+(b-a)y'+cy=0$ (E')

Résolvons cette équation
Posons (H) sont équation caractéristique :
$au^2+(b-a)u+cu=0$

$\Delta=(b-a)^{2}-4ac$

1)cas n°1 : discriminant strictement positif:
Dans le cas ou $\Delta>0$ , (H) a alors deux solutions $u_{1}$ et $u_{2}$ telles que :
$\{{u_{1}=\frac{-(b-a)-\sqrt{\Delta}}{2a}\\u_{2}=\frac{-(b-a)+\sqrt{\Delta}}{2a}}\$

L'équation (E") a alors pour solution :
$z(t)=\lambda e^{u_{1}t}+\mu e^{u_{2}t}$

On en déduit :
$y(e^t)=\lambda e^{u_{1}t}+\mu e^{u_{2}t}$
c'est a dire :
$y(t)=\lambda t^{u_{1}}+t^{u_{2}}$

ou y est solution de (E)

2)Cas ou le discriminant est nul
Dans le cas ou le discriminant est nul , il y a une racine double $u_{0}$ telle que :
$u_{0}=\frac{-(b-a)}{2a}$

On a alors z(t) solution de (E') telle que :
$z(t)=(\lambda t+\mu)e^{u_{0}t}$

c'est a dire :
$y(e^{t})=(\lambda t+\mu)e^{u_{0}t}$

On a alors y(t) solution de (E) telle que :
$y(t)=(\lambda ln(t)+\mu)t^{u_{0}}$

3)Cas ou le discriminant est négatif
On a alors deux racines complexe $j_{1}$ et $j_{2}$ telles que :
$j_{1}=\frac{-(b-a)-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$
$j_{2}=\frac{-(b-a)+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

Ces deux racines peuvent s'écrire sous la forme $\iota x+\theta$ , on a alors :
$j_{2}=\iota x+\theta$ et $j_{1}=\bar{j_{2}}=\iota x-\theta$

Les solutions de (E') sont donc les fonctions z telles que :
$z(t)=e^{\iota t}(\lambda cos(\theta t)+\mu sin(\theta t)$

c'est a dire :
$y(e^{t})=e^{\iota t}(\lambda cos(\theta t)+\mu sin(\theta t)$

On a alors y solution de (E) telle que :
$y(t)=t^{\iota}(\lambda cos(\theta ln(t))+\mu sin(\theta ln(t))$

Pour la deuxiéme question il faut s'aider du fait que $y(-t)$ est solution sur $\mathbb{R}_{-}^{*}$ si $y(t)$ est solution sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$
Je te laisse faire tout ca

Et pour l'application eh bien tout est la , il ne te reste plus qu'a remplacer a b et c

Posté par re : Equations Différentielles 03-11-04 à 14:57

oula , pourquoi je suis parti dans des x moi , je voulais dire :

"Ces deux racines peuvent s'écrire sous la forme $\iota+\theta i$ , on a alors :
$j_{2}=\iota +\theta i$ et $j_{1}=\bar{j_{2}}=\iota-\theta i$ "

Autant pour moi

Posté par alexone (invité)re : Equations Différentielles 03-11-04 à 15:29

Franchement t'a bien assuré je te remercie beaucoup je me debrouille pour le reste
merci encore

Posté par re : Equations Différentielles 03-11-04 à 15:53

Pas de quoi

Si tu as quelconque probléme pour le reste de l'exercice tu peux toujours demander je pourrai voir ce que je peux faire

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Equations Différentielles

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths