Bonjour,
truc habituel :

tu résouds l'équation homogène

xy+2y=0

tu vas trouver une solution y_h.

Tu vas ensuite chercher une solution particulière à l'équation inhomogène y_p de la forme
k(x).y_h(x).

voila ce que j'avais fait

j ai resolu l'equation sans second membre et cela me donne

K / x² comme solution

je trouve K = ln 4 alors pour moi mes resulats sont bizarre donc je pense avoir faux

xy' + 2y = 0
xy' = -2y

si y est différent de 0 :
y'/y = -2/x

ln|y| = -2.ln|Cx|

y = C/x²
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Solution particulière de l'équation complète:

y = f(x)/x²

y' = (x².f'(x)-2x.f(x))/x^4
y' = (x.f'(x)-2.f(x))/x³

xy' = (x.f'(x)-2.f(x))/x²

xy' + 2y = (x.f'(x)-2.f(x))/x² + 2f(x)/x²

xy' + 2y = (x.f'(x))/x²

xy' + 2y = f'(x)/x

f'(x)/x = 2/(1+x²)

f'(x) = 2x/(1+x²)

f(x) = ln(1+x²)

Solution particulière de l'équation complète:

y = (ln(1+x²))/x²
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Solutions générales:

y = (ln(1+x²))/x² + C/x²

y = (C + ln(1+x²))/x²
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Sauf distraction. Vérifie.