Bonjour Oscar100

Si g est une fonction continue, commence par résoudre l'équation différentielle y'+y=g.

Kaiser

Bonsoir Kaiser!
la résolution me donne:

y(x)= a * exp(-x) + exp(-x)exp(u)g(u)du   entre 0 et x

Pourrais-tu s'il te plait m'indiquer clairement ton plan d'analyse?
Merci beaucoup

En fait, l'idée est d'exprimer f en fonction de f+f', à l'aide d'une intégrale.
Si l'on pose g=f+f', il est clair que f est solution de l'équation différentielle y'+y=g.
L'égalité que tu as donnée précédemment permet donc d'exprimer f en fonction de g. Ensuite, il ne reste plus qu'à majorer le tout pour montrer que f est bornée.

Kaiser

Merci de continuer de m'expliquer^^ (très ingénieuse ton idée!^^)
J'essaie d'appliquer ce que tu m'as dit

f(x)=a*exp(-x) + exp(-x) exp(u)(f(u)+f'(u))du   entre 0 et x
en mettant le exp(-x) en facteur et qui va etre majoré par 1 puisque x est dans R+, on obtient:

|f(x)||a+exp(u)(f(u)+f'u))du|
(toutes les intégrales sont entre 0 et x)

maintenant comment conclure? est ce qu'il faut majorer l'intégrale par le sup de (f(u)+f'(u)) multiplié part l'intégrale de exp?
(merci de vérifier mes calculs^^)

Tout d'abord, pour ne pas alourdir les calculs : à la place de f(u)+f'(u), écris plutôt g(u).
Sinon, pour ce qui concerne le fait de majorer par le sup de f+f', 2 choses :

1) tu ne sais pas que le sup existe (une fonction carré intégrable n'est pas forcément bornée).
2) tu n'utilises pas que g est de carré intégrable.

Autre chose : l'exponentielle qui est en facteur de l'intégrale doit être conservée et ne doit pas être majorée par 1, sinon, on ne pourra pas conclure.

Bref, si on regarde ça de plus près, on doit commencer par traiter et on veut faire apparaître du g² (ça doit te faire penser à quelque chose) pour s'en sortir : comment faire ça ?

Kaiser

J'obtiens une majoration horrible : :



|f(x)|exp(-x)(|a|+|( (|g(u)|²du)*((exp(2x)-1)/2)| )

(je m'excuse pour le peu de clarté de cette écriture)

Mais non, mais non, elle n'est pas horrible, cette majoration ! Elle est même très bien !
De plus, l'écriture est assez claire (tu as quand même pris la peine de mettre des parenthèses ce qui permet d'améliorer la compréhension).

Sinon, l'intégrale de g², tu la prends entre quelles bornes ?
Maintenant simplifie un peu le tout : on a une somme de 2 termes. le premier est simple à majorer et le deuxième se traite également facilement en étudiant la quantité

kaiser

(c'est très gentil de faire des efforts pour lire ce que j'écris et de dire que c'est pas trop mal écrit^^,...c'était déja très gentil de ta part de m'aider mais là je ne sais plus quoi dire )

J'

oups désolée j'ai posté le message avant de l'avoir fini^^

j'ai entré la fonction dans la calculette et j'ai vu son graphe (j'imagine qu'il doit falloir la dériver et étudier ses variations). Comme prévu, elle est majorée.

donc |f(x)| |a|+ S*M
où S est l'inétégrale entre 0 et l'infini de g et M le sup de la fonction moche.
Est-ce exact?

(encore merki^^)

^^ Grâce à ta précieuse aide la question 1 est bouclée (yeah ^^)
(juste une petite question en plus (je m'excuse déja pour la taille de la bêtise qu'il se pourrait que je sois sur le point de dire mais ça me turlupine): si  g est de carré intégrable est-ce que ça ne veut pas dire que g tend vers 0?)

Maintenant pour la b, avec l'intégration des relations de comparaison  on peut montrer que f' tend nécessairement vers 0 sinon f ne serait pas bornée (n'est-ce pas?^^)
Si on avait la limite de g on pourrait conclure, mais l'a t-on?

Effectivement (merci pour le contre exemple)

Si on suppose que f' tend vers b non nul alors on a qu'en +l'infini, f'(x) est équivalent à b et donc ...
arggg je dis n'importe quoi!! j'allais intégrer une constante en l'infini

Bah non, finalement je ne vois pas comment faire (et je me mets même à raconter n'importe quoi)

Notons l une limite éventuelle de f. On va montrer que l est forcément nulle.


On commence par considérer l'égalité et on l'intégre entre 0 et x et on étudie chacun des morceaux.

On commence par .

Quel est le comportement de ce terme lorsque x tend vers l'infini ?

Kaiser

Je n'arrive plus du tout à réfléchir, Kaiser. Je crois que je reprendrai cet exercice demain. Je te remercie infiniment pour ton aide, mais je n'en peux plus.

OK, pas de problème !
Bonne nuit !

Kaiser

Bonsoir!
Je reprends l'exercice d'hier (et oui! je suis encore dessus!)
J'essaie d'exprimer les deux intégrales comme tu me l'as proposé.
Celle que tu as écrit dans ton message de 00:44 est , à une constante additive près, f(x) (n'est-ce pas?)) . Donc en l'infini, elle tend vers l + une constante.

Par contre je n'arrive pas à conclure sur l'autre bout...
Une aide?
(merci^^)

Bonsoir

OK, donc ça tend vers une limite finie.
Maintenant, on s'attaque à .
Comme on connait le comportement f en l'infini, on connait un peu le comportement de cette intégrale. ce que l'on voudrait c'est connaitre un équivalent de cette intégrale. Si l=0, on ne peut a priori donner aucun équivalent mais si l est non nul, on peut.
On raisonne donc par l'absurde et on suppose que l est non nul.
Dans ce cas, donne un équivalent de cette intégrale lorsque x tend vers l'infini et par suite, donne un équivalent de .

Ensuite, essaie de majorer intelligemment et essaie d'obtenir une contradiction.

Kaiser

Je reviens tout à l'heure, je n'ai pas encore dîné (je suis rentré assez tard ! )

Kaiser

Bonsoir Kaiser!!!!!! Heureuse de voir que tu reviens m'aider (c'est très gentil de pas m'abandonner à mon triste sort^^)

Donc là on a que l'intégrale de f' tend vers une limite finie.

Passons à l'intégrale de f . On appelle l sa limite supposée non nulle. donc on peut écrire que

f(x) l en + ( désignant: "équivalent à")
donc  f(t)dt lx  quand x tend vers l'infini (l'intégrale est entre 0 et x) (j'ai le droit d'intégrer une constante pas vrai? je n'arrive vraiment pas à me faire aux intégrales impropres)

dans ce cas on a que la somme des intégrales est équivalente à lx quand x->
Est-ce juste?

(Bon appétit ^^)

oui, tu as le droit d'intégrer la constante (car tu es sur un segment).

Tu auras remarqué qu'on a utilisé un théorème d'intégration des relations de comparaisons.

bref, tout est juste pour le moment. Reste à s'occuper de l'intégrale de g.

Kaiser

Bah c'est pas faute d'avoir essayé mais je ne vois pas comment donner une majoration de g car je suppose qu'il va falloir montrer que g est bornée ce qui contredira qu'elle a un équivalent en lx (ne te moque pas, je t'assure que je ne trouve pas ).
D'autre part, cette discussion nous montrera que si f a une limite alors cette limite est nulle. Mais est on surs que f a une limite?

Juste pour mettre les choses au clair : on ne sait pas que f possède une limite mais ce que l'on essaie de montrer c'est que si f en admet une, alors celle-ci est nécessairement nulle (bref, on est sous l'hypothèse que f possède une limite).

Par ailleurs, comme dit hier, g n'est pas forcément bornée. On essaie d'avoir des informations sur l'intégrale de g mais la seule chose dont on dispose c'est de l'intégrabilité de g² : comment se servir de cette information ?

Bah...j'ai cherché , cherché, mais je ne vois pas comment comparer les intégrale de g et de g^2 d'une façon qui nous permette de conclure.

comme hier, avec Cauchy-Schwarz.

Kaiser

J'ai essayé Cauchy schmarz mais ça a fait apparaitre l'intégrale de 1 donc j'ai laissé tomber

pourquoi tu as laissé tombé ? l'intégrale de 1 entre 0 et x est calculable.

Kaiser

Je suis arrivée à:

|g(t)dt| (x|g|²) (les intégrales sont entre 0 et x)
                               (Mx)
en notant M la limite de l'intégrale de f^2
J'ai laissé tomber cette piste car je ne voyais pas en quoi elle contredit ce qui a été dit avant (et ne le vois toujours pas d'ailleurs )

et bien, c'est maintenant que l'on va aboutir à une contradiction. En te souvenant que g=f+f', calcule de deux manières différentes la limite de lorsque x tend vers l'infini.

Kaiser

WAW que c'est bôôôôô  !!!! mais comment fais-tu pour avoir de si belles idées??
Oui la on a d'un coté que cette fonction tend vers l non nul et de l'autre qu'elle tend vers 0=> si f a une limite elle est nulle

toutafé !
Sinon, pour avoir l'idée c'est juste qu'il faut exploiter les propriétés de f. On ne sait pas grand chose sur f' donc le seul moyen de tirer des infos utiles c'est d'intégrer et donc on se ramène à intégrer (bon, on essaie et puis si ça marche pas, on réessaie autre chose ! )

Kaiser

Juste une dernière question qui n'a rien à voir avec l'exercice si bien sur tu veux bien^^
supposons qu'on doive résoudre une équation différentielle linéaire dont le second membre est de  la forme
pour tout n = a_n cos(nt)
si , pour tout n , on trouve la solution de l'équa diff, et qu'on sait que la série des a_n cos(nt) converge absolument, est-ce qu'on peut avoir les solutions de la même équa diff mais avec le second membre qui vaut a_n cos(nt) ? Et qu'est ce qui justifie la réponse?

Voila et merci beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup...beaucoup pour ton aide

l'équation différentielle est à coefficients constants, je suppose ?

Kaiser

Effectivement (waw!! tu es décidément extrêmement fort!!)
Et donc quand les coefficients sont constants ont peut dire des choses?

En fait, si les coefficients n'étaient pas constants, il fallait au moins supposer que les coefficients étaient périodiques pour faire le raisonnement qui suit.

encore une chose : tu dis que la série converge absolument. Tu voulais peut-être dire uniformément ? (ou alors plutôt que la série converge absolument ?)

Kaiser

oui désolée c'est bien ce que tu dis que je voulais dire (de quoi j'ai l'air maintenant? tu m'aides tout le temps et tu corriges même mes énoncés^^ en tous cas merci).
voila l'équa diff c'est plus simple: y"+y =a_n cos(nt) sachant que la série des a_n converge uniformément.
A partir de là et ayant les solutions pour tout n, peut on avoir les solutions de
y"+y=a_n cos(nt) ?

Mais non, t'inquiètes, aucun problème !
Sinon, tu obtiens la solution en générale en formant la somme infinie mais il faut s'y prendre un peu à l'envers en passant par les séries de Fourier (car sans ça il faudrait montrer que les séries que tu obtiens sont 2 fois dérivables termes à termes mais bon, ça se fait).
la série trigonométrique converge uniformément donc on a deux choses :

1) ça définit une fonction continue (que l'on va appeler g) et clairement -périodique.
2) cette série trigonométrique est le développement en série de Fourier de g.

Soit f une solution de cette équation différentielle dont le second membre est la somme de la série dont on a enlevé le terme pour n=1. En utilisant la méthode de variations des constantes, on arrive à trouver une formulation intégrale pour f et on prouve grâce à elle que f est -périodique (si on a enlevé le terme d'ordre 1, c'est justement pour avoir une solution périodique) et paire.

Bref, l'équation indique que f" est une fonction continue et donc par le théorème de Dirichlet, f est développable en série de Fourier. De plus, f"=f-g donc c'est la somme de 2 séries trigonométriques uniformément convergentes, donc elle est elle-même développable en série de Fourier (et donc égale à sa série de Fourier).

Comme f est paire, alors f" est paire et leur décompositions en série de Fourier n'est formé que de cosinus.

Ainsi, . Par 2 IPP, tu peux exprimer les coefficients de Fourier de f" en fonction de f et tu trouves que .

De là, en utilisant l'unicité de la décomposition en série de Fourier, tu arrives à exprimer
en fonction de et le tour est joué.

Ensuite, il ne reste plus qu'à rajouter la solution de l'équation avec second membre égal à cos(x) pour trouver

Ou alors, si tu ne veux vraiment pas utiliser les séries de Fourier, tu fais ceci : pour chaque n, tu trouves une solution (qui vérifie de bonne propriétés lorsque n tend vers l'infini, par exemple, que ça tend vers 0 avec n) et tu montres que la série de fonctions convient (mais c'est là où il va falloir montrer que tu peux dériver sous le signe somme).

Kaiser

hum heuuu bahhhh euhhh ça ne fait rien si je me répète? on va dire que non donc
merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ^^:P:D:D:D:D:D:D:D:D

Mais je t'en priiiiiiiiiiiiiiiiiiiie !