Bonjour,
En ce moment on aborde les équations différentielles. Je dois en résoudre du deuxième ordre à coefficients constants. Pourriez vous me dire si mon raisonnement et mes calculs sont corrects? Merci d'avance!Encore une petite question : qqn sait-il si une calculatrice peut réoudre les équations différentielles?(J'en ai acheté une très performante mais je ne parviens pas à trouver cette fonction.)

1) y'' + y = (x+1)e^x
solution de l'équation homogène y'' + y = 0
équation caractéristique k²+1 = 0    <0
k₁ = i   k₂ = -i

solution de l'équation homogène : A*sin (x+)e^0x = A*sin(x+)    (A, R)

on cherche une solution [particulière] sous la forme (ax+b)e^x (la forme sous laquelle je cherche la solution est-elle exacte?)
y(x) = (ax+b)e^x
y'(x) = (ax+a+b)e^x
y''(x) = (ax+2a+b)e^x

y vérifie E
ssi (ax+2a+b)e^x + (ax+b)e^x = (x+1)e^x
ssi ax+2a+b+ax+b = x+1
ssi 2ax+2(a+b) = x+1
ssi a =
    b = 0

solution de l'équation complète : y(x) = xe^x

La solution générale  de l'équation complète est : xe^x + A*sin (x+)


2) y"+ 2y'-3y = e^-2x + 5e^x
solution de l'équation homogène 2y''+2y'-3y = 0
équation caractéristique 2k²+2k-3 = 0    >0
k₁ = -3   k₂ = 1

solution de l'équation homogène : Ae^-3x + Be^x
Puis-je utiliser ici le principe de superposition des solutions? C'est ce principe que j'ai appliqué par la suite.
on cherche une solution de l'équation : y"+2y'-3y = e^-2x de la forme a*e^-2x   (a R)
y(x) = a*e^-2x
y'(x) = -2a*e^-2x
y''(x) = 4a*e^-2x

y vérifie E
ssi 4a*e^-2x +2*(-2a)*e^-2x -3a*e^-2x = e^-2x
ssi 4a-4a-3a =
ssi a = -

solution de l'équation y"+2y'-3y = e^-2x : y(x) = -e^-2x

on cherche une solution de l'équation : y"+2y'-3y = 5e^x de la forme (ax+b)*e^x (phénomène de résonnance)   (a,b R)
y(x) = (ax+b)*e^x
y'(x) = (ax+a+b)*e^x
y''(x) = (ax+2a+b)*e^x

y vérifie E
ssi (ax+2a+b)*e^x +2*(ax+a+b)*e^x -3(ax+b)*e^x = 5e^x
ssi ax+2a+b+2ax+2a+2b-3ax-3b = 5
ssi 4a = 5    b = 0
ssi a =    b = 0

solution de l'équation y"+2y'-3y = 5e^x : y(x) = e^x

La solution générale  de l'équation complète est : e^x + -e^-2x + A*sin(x+)