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Niveau Maths sup
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Equations différentielles

Posté par Gilles (invité) 21-03-02 à 16:01

J'ai eu cette équation diff en colle

résoudre
y''-2y'+(1-z^2)y=x* exp(k*x) ac z>=0 et k appartenant à R

-----------------

Tt d'abord j'ai posé le poly caractéristique
je différencie2 cas
1er cas
1)si k=x1, alors deg q=2
2)si k=x2, alors deg q=2
3) si k différent de x1 et x2, alors deg q=1


2ème cas
1) si k=xo, alors deg p>=3
2) si k diifférent de x0 alors de p=1

( ac fi fction qui a x associe q(x) exp ( k*x)


etude de 1ers cas 1)
on suppose k racine ac k=1-z ( =x1 sol de poly cara )

j'obtiens ensuite qq chose de la forme
a(z-1)^2 x^3 + a*(-z^2+2z-1)x^2 -4azx +2(a-bz)=x

je dois deternminer logiquement a et b pr trouver ma 1èresol particulière
pr le 1er ss cas ! je n'y arrive pas je bloque, les calculs
sont phénoménaux ! si vs pouviez m'aider ça serait super gentil.merci
davance

Posté par Dran (invité)re : Equations différentielles 21-03-02 à 20:18

Je pense que j'ai une solution plus "simple"
Tout d'abord, poser y=exp(kx)*u ou u est une fonction deux fois dérivable
Calculer y' puis y'' et ensuite injecter dans l'équation
donnée.
J'obtiens : u''+(2k-2)u'+(k²-2k+1-z²)u=x (sous réserve d'erreurs)
Chercher alors une solution particulière pour éliminer le second membre sous
la forme ax+b
J'obtiens un système linéaire à deux équations et deux inconnues en identifiant.
Ce système admet une solution ssi k²-2k+1-z² est non nul (soit k différent
de 1+z et différent de 1-z)
Dans ce cas, la solution particulière existe bien sous forme affine
Résoudre alors l'équation différentielle homogène (discussion suivant
le discriminant de l'équation caractéristique) puis ajouter
la solution particulière.
Reste à traiter les cas où k=1+z , k=1-z
L'équation se simplifie (je traite uniquement k=1+z) et devient : u''+2zu'=x
Chercher une solution particulière quadratique ax²+bx+c
Le cas z=0 apparaît de façon naturelle et dans le cas ou z est non nul,
la solution particulière est bien quadratique.
Si z=0 l'équation est : u''=x d'où u par double
intégration.
Finalement, dans tous les cas on obtient u donc y
Voila ! (les calculs me semblent plus clairs ! )



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