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equations différentielles
Bonjour,
j'ai un exercice sur les équations diff. et je bloque à la 4ème question.
La premiere question consistait à résoudre l'équation suivante:
(E) xy'+(x-1)y=x²+x+1
j'ai donc trouver comme solution:y(x)= C.x.exp(-x)+x+1
puis après il fallait déterminer une fonction f solution de E telle que f(1/2)=2;j'ai trouvé f(x)=x.exp((1/2)-x)+x+1
Mais maintenant j'ai la question suivante à résoudre:
étant un réel quelconque,déterminer la solution f[/sub] de E sur ]0;+
[,telle que f[sub](1/2)=.On note D[/sub] la tangente à la courbe représentative de f[sub] au point d'abscisse 1/2,montrer que les droites D[sub][/sub] passent par un point fixe du plan.
voila c'est cette question que je n'arrive pas à résoudre
Pouvez vous m'aider s'il vous plait
Merci d'avance pour votre aide
Bonne soirée
f(x) = C.x.exp(-x)+x+1
fLambda(1/2) = C.(1/2).exp(-(1/2))+(1/2)+1 = Lambda
C.(1/2).exp(-(1/2))+(1/2)+1 = Lambda
C.(1/2).exp(-(1/2))+(3/2) = Lambda
C.exp(-(1/2))+3 = 2.Lambda
C = 2.Lambda/(3+e^(-1/2))
fLambda(x) = [2.Lambda/(3+e^(-1/2))].x.exp(-x)+x+1
(fLambda(x))' = [2.Lambda/(3+e^(-1/2))].(e^(-x) - x.e^(-x)) + 1
(fLambda(x))' = [2.Lambda/(3+e^(-1/2))].(1-x).e^(-x) + 1
(fLambda(1/2))' = [2.Lambda/(3+e^(-1/2))].(1-(1/2)).e^(-(1/2)) + 1
(fLambda(1/2))' = [Lambda/(3+e^(-1/2))].e^(-(1/2)) + 1
Tangente:
T: y - fLambda(1/2) = (x-(1/2)).(fLambda(1/2))'
T: y - Lambda = (x-(1/2)).[(Lambda/(3+e^(-1/2))).e^(-(1/2)) + 1]
T: y = [(Lambda/(3+e^(-1/2))).e^(-(1/2)) + 1]x + Lambda - (1/2).[(Lambda/(3+e^(-1/2))).e^(-(1/2)) + 1]
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Si toutes les T (pour différentes valeurs de lambda) passent un même point, on cherche ce point en donnant à Lambda 2 valeur différentes.
a) Lambda = 0
T(Lambda=0): y = x - (1/2).
b) Lambda = (3+e^(-1/2)))/e^(-(1/2))
T(Lambda=(3+e^(-1/2)))/e^(-(1/2))): y = 2x + (3+e^(-1/2)))/e^(-(1/2)) - 1
Le point commun est à l'abscisse x tel que:
x - (1/2) = 2x + (3+e^(-1/2)))/e^(-(1/2)) - 1
x = (1/2) - (3+e^(-1/2)))/e^(-(1/2))
x = (1/2) - 3.e^(1/2) - 1
x = -(1/2) - 3.e^(1/2)
y = x - (1/2) --> y = -1 - 3.e^(1/2)
Si il y a un point commun à toutes les tangentes, c'est le point de coordonnées:
(-(1/2) - 3.e^(1/2) ; -1 - 3.e^(1/2))
---
Il reste à vérifier si les coordonnées (-(1/2) - 3.e^(1/2) ; -1 - 3.e^(1/2)) vérifient l'équation:
T: y = [(Lambda/(3+e^(-1/2))).e^(-(1/2)) + 1]x + Lambda - (1/2).[(Lambda/(3+e^(-1/2))).e^(-(1/2)) + 1]
Et ceci quel que soit Lambda. (C'est bien le cas graphiquement doonc cela devrait marcher par le calcul).
A toi pour continuer , c'est presque fini.
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Sauf distraction.
bonjour JP,
je te remercie pour ton aide!
je bloquais vraiment sur cette question et je ne voyais pas du tout comment faire!
bonne journée
hello jp,
je crois que tu as fait une erreur:
tu as mis:C.exp(-(1/2))+3 = 2.Lambda
C = 2.Lambda/(3+e^(-1/2))
ce serait pas plutot c=((2.lambda)-3)/(e^(-1/2))
@+++
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