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Niveau maths spé
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Equations différentielles

Posté par
louisedcc
29-10-24 à 08:41

Bonjour,

Je suis en difficulté sur l'exercice suivant :

Soit q une fonction paire, continue sur R et (E): y'' + q(x)y = 0
Montrer que la solution f de E telle que f(0)=1 et f'(0)=0 est paire.

J'ai commencé par justifier l'existence et l'unicité de la solution (équa diff linéaire d'ordre 2 à coef continus et problème de Cauchy) puis j'ai voulu calculer la partie paire de f, sans succès. Celle de f'' aussi, qui est une fonction paire également, mais je me perds là encore dans des calculs. Je sens que je ne vois pas l'astuce et je n'utilise pas non plus les valeurs données en 0...

Merci d'avance pour une astuce ou une autre piste !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations différentielles 29-10-24 à 09:26

Bonjour,
Il y a peut-être quelque chose de ce genre :
Si f est solution alors x f(-x) est solution.

Posté par
louisedcc
re : Equations différentielles 29-10-24 à 09:30

Bonjour,

x parcourt R donc idem pour -x, ainsi cette information est déjà donnée. Et en remplaçant x par -x dans la relation, on est tenté de calculer les parties paires et impaires, ce que j'ai déjà essayé...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations différentielles 29-10-24 à 10:01

As-tu cherché à démontrer que g définie sur par g(x) = f(-x) est solution de (E) ?

Posté par
louisedcc
re : Equations différentielles 29-10-24 à 10:14

J'ai compris merci !
On a deux solutions vérifiant le même problème de Cauchy donc f = g car il y a unicité de la solution, ie pour tout x, f(x)=f(-x) et f paire, merci beaucoup !!

Posté par
carpediem
re : Equations différentielles 29-10-24 à 10:24

salut

louisedcc @ 29-10-2024 à 08:41

Montrer que la solution f de E telle que f(0)=1 et f'(0)=0 est paire.

Je sens que je ne vois pas l'astuce et je n'utilise pas non plus les valeurs données en 0...
les conditions initiales sont totalement inutiles pour répondre à la question

d'une part l'image de 0 par f peut être quelconque.

d'autre part la dérivée d'une fonction paire est impaire et impose donc f'(0) = 0 donc cette donnée est superflue

si l'énoncé disait "... telle que f'(0) = tout et n'importe quoi sauf 0" alors on serait certain qu'il n'y a pas de solution

Posté par
louisedcc
re : Equations différentielles 29-10-24 à 10:36

Bonjour,

Je crois bien que c'est faux.
J'ai besoin de l'unicité de la solution pour conclure quant à la parité de f.
Or, celle-ci est donnée par les valeurs en 0 de f et f' car elles assurent qu'il s'agit d'un problème de Cauchy donc à unique solution.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations différentielles 29-10-24 à 11:03

Oui, f(0) est superflu, mais pas f'(0) :

Avec q(x) = 1 et f(x) = cos(x) + 7sin(x)
f est une solution non paire de (E) et vérifie f(0) = 1.
Mais pas f'(0) = 0.

Posté par
carpediem
re : Equations différentielles 29-10-24 à 13:45

louisedcc : bien sûr qu'il faut deux conditions pour assurer l'unicité

mais je dis simplement que f'(0) peut ne pas être mentionné car est nécessaire pour avoir une solution paire : c'est une condition inhérente au fait d'avoir une solution paire : f est paire => f'(0) = 0

mais f(0) peut être n'importe quoi



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