Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Equations différentielles
Bonjour,
Je suis en difficulté sur l'exercice suivant :
Soit q une fonction paire, continue sur R et (E): y'' + q(x)y = 0
Montrer que la solution f de E telle que f(0)=1 et f'(0)=0 est paire.
J'ai commencé par justifier l'existence et l'unicité de la solution (équa diff linéaire d'ordre 2 à coef continus et problème de Cauchy) puis j'ai voulu calculer la partie paire de f, sans succès. Celle de f'' aussi, qui est une fonction paire également, mais je me perds là encore dans des calculs. Je sens que je ne vois pas l'astuce et je n'utilise pas non plus les valeurs données en 0...
Merci d'avance pour une astuce ou une autre piste !
f(-x) est solution.Bonjour,
x parcourt R donc idem pour -x, ainsi cette information est déjà donnée. Et en remplaçant x par -x dans la relation, on est tenté de calculer les parties paires et impaires, ce que j'ai déjà essayé...
par g(x) = f(-x) est solution de (E) ?J'ai compris merci !
On a deux solutions vérifiant le même problème de Cauchy donc f = g car il y a unicité de la solution, ie pour tout x, f(x)=f(-x) et f paire, merci beaucoup !!
salut
Montrer que la solution f de E telle que f(0)=1 et f'(0)=0 est paire.
Je sens que je ne vois pas l'astuce et je n'utilise pas non plus les valeurs données en 0...
d'une part l'image de 0 par f peut être quelconque.
d'autre part la dérivée d'une fonction paire est impaire et impose donc f'(0) = 0 donc cette donnée est superflue
si l'énoncé disait "... telle que f'(0) = tout et n'importe quoi sauf 0" alors on serait certain qu'il n'y a pas de solution
Bonjour,
Je crois bien que c'est faux.
J'ai besoin de l'unicité de la solution pour conclure quant à la parité de f.
Or, celle-ci est donnée par les valeurs en 0 de f et f' car elles assurent qu'il s'agit d'un problème de Cauchy donc à unique solution.
Oui, f(0) est superflu, mais pas f'(0) :
Avec q(x) = 1 et f(x) = cos(x) + 7sin(x)
f est une solution non paire de (E) et vérifie f(0) = 1.
Mais pas f'(0) = 0.
louisedcc : bien sûr qu'il faut deux conditions pour assurer l'unicité
mais je dis simplement que f'(0) peut ne pas être mentionné car est nécessaire pour avoir une solution paire : c'est une condition inhérente au fait d'avoir une solution paire : f est paire => f'(0) = 0
mais f(0) peut être n'importe quoi
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac