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Equations différentielles et solutions complexes

Posté par
fplanina 13-03-23 à 14:54

Bonjour à tous,

je travaille en ce moment les équations différentielles d'ordre 2 à coefficients constants.

J'ai un souci avec une équation qui est la suivante :

y''+2y'+4y = 5 cos (2x) - 3 sin (2x)

Bon je fais l'équation caractéristique : r²+2r+5=0

Cela donne r1= -1+2i  ou  r2=-1-2i

Jusque là aucun souci.

La solution de l'équation homogène est donc e^{-x}(\Lambda cos(2x) + \mu sin(2x))


Mais après pour trouver la solution particulière , c'est là que je m'interroge, bon déjà , je n'ai pas l'exponentielle à droite dans l'équation de base et je ne peux donc pas utiliser la formule connue  e^{mx}  avec m solution ou pas de l'équation caractéristique (je suis donc bloqué à cette étape) . Je n'ai aucune connaissance de la valeur de m. Comment puis-je trouver m à partir de « 5 cos (2x) - 3 sin(2x) » ? Dois-je convertir le tout en exponentielle ? Utiliser la formule d'Euler ? Quelle démarche dois-je adopter?

Si quelqu'un pourrait m'éclairer sur ce point ou me donner une indication , je lui en serait très reconnaissant. En vous remerciant d'avance.Bon courage à tous !

Posté par
fplaninare : Equations différentielles et solutions complexes 13-03-23 à 14:56

Mince l'équation de base c'est :
y''+2y'+5y = 5 cos(x) -3 sin(x)

pardon j'ai fait une faute de frappe

Posté par
fplaninare : Equations différentielles et solutions complexes 13-03-23 à 15:00

Je fais nimp, c'est :


y''+2y'+5y = 5 cos(2x) -3 sin(2x)

C'est celui là c'est sûr !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equations différentielles et solutions complexes 13-03-23 à 15:57

Bonjour,
Une piste qui fonctionne assez souvent pour trouver une solution particulière : la chercher de la même forme que le second membre.

Posté par
Panter Correcteurre : Equations différentielles et solutions complexes 13-03-23 à 16:38

Bonjour,
Lorsque le second membre est une combinaison linéaire de fonctions \cos et \sin , une solution particulière est aussi une combinaison linéaire de fonctions \cos et \sin .
Si ça t'interesse, j'avais rédigé une fiche sur les équa-diff, et j'y avais présenté ce cas avec un exemple au paragraphe II-5-c) , voir
Panter

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equations différentielles et solutions complexes 13-03-23 à 17:29

Bonjour Panter,
Bravo pour la fiche

Posté par
Panter Correcteurre : Equations différentielles et solutions complexes 13-03-23 à 18:41

Salut Sylvieg,
Merci! J'avoue que ça m'a pris pas mal de temps, mais c'est fait avec plaisir

Posté par
fplaninare : Equations différentielles et solutions complexes 13-03-23 à 18:54

un grand merci je vais bien étudier cela !

J'ai  r1= -1+2i  ou  r2=-1-2i

donc \alpha =-1
et \beta =2


le corrigé dit:

\beta=2 et 2i n'est pas racine de l'équation caractéristique donc l'équation particulière admet la forme:

Acos(2x+Bsin(2x)

bon je comprends le mécanisme mais dire "2i" n'est pas racine,  je ne saisi pas très bien le raisonnement...déjà comment savoir qu'il n'est pas racine, de 2 pourquoi seulement l'imaginaire est pris en compte et 3 quelle est cette technique?

J'analyse vos réponses pour demain. Bonne soirée à vous et merce encore!

Posté par
GBZMre : Equations différentielles et solutions complexes 14-03-23 à 10:47

Bonjour,
L'équation caractéristique est ici \lambda^2+2\lambda +5=0.  Tu as calculé ses racines, et donc tu sais que ni 2i ni -2i ne sont des racines
Tu sais aussi que \cos(2x)\pm i\sin(2x)=\exp(\pm2ix). L'espace E des fonctions à valeurs complexes engendré par \cos(2x) et \sin(2x) est le même que celui engendré par \exp(2ix) et \exp(-2ix).
L'application linéaire y\mapsto y''+2y'+5y induit un endomorphisme \varphi : E\to E.  Le fait que ni 2i ni -2i ne soient racines de l'équation caractéristique veut dire que le noyau de \varphi est réduit à 0 (il n'y a pas de solution de l'équation homogène dans E autre que 0). Donc \varphi est un isomorphisme. Morale : pour tous réels A,B il existe un unique couple (C,D) tel que \varphi(C\cos(2x))+D(\sin(2x))=A\cos(2x)+B\sin(2x), et C et D sont réels.

Posté par
fplaninare : Equations différentielles et solutions complexes 14-03-23 à 15:22

Merci !!!

j'ai tout compris, je reprends
y''+2y'+5y = 5 cos(2x) -3 sin(2x)

donc \alpha =0   (exponentielle puissance 0x soit 1 tout simplement donc pas détectable directement au début avec le second membre)
et \beta =2
donc \alpha +i\beta  soit 0 + 2i n'est pas racine de l'équation caractéristique donc je ne "réhausse pas le polynôme d'un degré supplémentaire" dans la recherche de l'équation particulière.

j'ai mal interprété le cours tout simplement
Merci les gars pour vos aides!


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