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Equations différentielles linéaires
Bonjour, j'ai un exercice sur ma feuille de TD que je n'arrive pas à résoudre, l'énoncé est le suivant:
Trouver toutes les applications f:R->R dérivables en 0 et telles que:
pour tout (x,y) appartenant à R², f(x+y)=exp(x)*f(y)+exp(y)*f(x).
j'ai tenté de calculé pour x=x et y =0 ce qui me donne: f(x)=exp(x)*(f(o)+f(x) <=> f(0)=0
de même pour x=y=0
puis j'ai tenté f(2x)=2exp(x)*f(x)
et f(3x)= 2exp(x)*f(x)+exp(2x)*f(x)
mais tout cela sans succès.
je pense que le fait que ces fonctions doivent êtres dérivables en 0 est la clé mais le problème c'est que je ne sais pas vraiment comment utiliser cette information.
merci pour votre aide
salut
en divisant la relation donnée par exey on obtient
f(x+y)/ex+y = f(x)/ex + f(y)/ey
ou encore h(x+y) = h(x) + h(y) .... et ça on connait .....
ah oui,merci
donc on pose par exemple la fonction F(x)=f(x)/exp(x)
et on reconnaît la l'équation fonctionnelle des fonctions linéaires (que j'ai déjà vu afin d'aller plus vite)
puis je résous donc les solutions de l'équation F(x+y)=F(x)+F(y) sont les fonctions des la formes y:x->K*x avec K appartenant à R
Ensuite comme F(x)=K*x=f(x)/exp(x)
<=> f(x)= K*x*exp(x)avec K appartenant à R.
Etes-vous d'accord avec mon résultat?
Encore merci.
J'ai trouvée que f(x)=Cxe^x avec C un cont non arbitraire dans C=f'(x) limx-->0f(x)/x,j'ai besoins de savoir si ceci est correcte
Bonjour 
Trouver toutes les applications f:R->R dérivables en 0 et telles que:
pour tout (x,y) appartenant à R², f(x+y)=exp(x)*f(y)+exp(y)*f(x).
en divisant la relation donnée par exey on obtient
f(x+y)/ex+y = f(x)/ex + f(y)/ey
ou encore h(x+y) = h(x) + h(y) .... et ça on connait .....
il me semble que l'équation fonctionnelle classique de Cauchy ne permet pas directement de conclure
en l'absence d'hypothèses de continuité ou de monotonie.
Cependant on peut directement exploiter l'hypothèse de dérivabilité en
et on voit ainsi, en faisant tendre
d'où le résultat souhaité par intégration.
sauf erreur de ma part bien entendu
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