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Equations Différentielles PREPA

Posté par bstar (invité) 20-01-05 à 16:49

Bonjour,

Soit l'équation différentielle y''+2y'+4y=xe^{x} (E)

1.)Résoudre l'équation différentielle homogène associée à (E)

--> Je trouve Y_H=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})

2.) Trouver une solution particulière de (E), puis donner l'ensemble des solutions de (E)

--> Je trouve Y_P=e^{x}(\frac{1}{4}x-\frac{1}{8})
Donc Y=e^{x}(\frac{1}{4}x-\frac{1}{8})+e^{-x}(C_{1}x+C_{2})

3.) Déterminer l'unique solution h de (E) vérifiant h(0)=1 et h(1)=0

--> Là je bloque

4.) Soit f:]0,\infty[ une fonction deux fois dérivable sur ]0,\infty[ et qui vérifie:

t^2f''(t)+3tf'(t)+4f(t)=tlogt

(a) Poser g(x)=f(e^x), vérifier que g est solution de (E)
(b) En déduire une expression de f

--> Là je bloque encore

Merci de votre aide

Posté par
Nightmarere : Equations Différentielles PREPA 20-01-05 à 17:20

Bonjour

3) On doit trouver C_{1} et C_{2} tels que :
\{{h(0)=1\\h(1)=0}\

On a :
h(0)=e^{0}\(\frac{1}{4}\times0-\frac{1}{8}\)+e^{-0}\(C_{1}\times0+C_{2}\)
c'est a dire :
h(0)=-\frac{1}{8}+C_{2}

On veut :
h(0)=1
soit :
-\frac{1}{8}+C_{2}=1
i.e
C_{2}=\frac{9}{8}

De plus on a :
h(1)=e\times\(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\)+\frac{1}{e}\(C_{1}+C_{2}\)
ayant C_{2}=\frac{9}{8}
on peux substituer et on obtient alors :
h(1)=e\times\(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\)+\frac{1}{e}\(C_{1}+\frac{9}{8}\)
Soit :
h(1)=\frac{3e}{8}+\frac{1}{e}\(C_{1}+\frac{9}{8}\)

On veut :
h(1)=0
=>
\frac{3e}{8}+\frac{1}{e}\(C_{1}+\frac{9}{8}\)=0
c'est a dire :
\frac{1}{e}\(C_{1}+\frac{9}{8}\)=-\frac{3e}{8}
soit
:\(C_{1}+\frac{9}{8}\)=-\frac{3e^{2}}{8}
et :
C_{1}=-\frac{3e^{2}}{8}-\frac{9}{8}
au final :
C_{1}=-\frac{3e^{2}+9}{8}

Il en vient la fonction recherchée :
h(x)=e^{x}\(\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}\)+e^{-x}\(-\frac{(3e^{2}+9)x}{8}+\frac{9}{8}\)

Sauf étourderies


Jord

Posté par
ciocciure : Equations Différentielles PREPA 20-01-05 à 17:30

salut
si mes souvenirs sont exacts (et je crois qi'ils le sont) je ne suis pas d'accord avec tes solutions
pour l'équation homogène il faut calculer les solutions de y²+2y+4=0 soit y=-1-iV3 ou -1+iV3 et donc les solutions de ton équa diff sont de la forme
y=e^-x *(C1 cos (xV3) +C2 sin (xV3) )
et je suis pas trop d'accord non plus avec ta solution particulmière car qd tu recalcules
Yp"+2Yp'+4Yp tu retombes pas sur xe^x
comment as tu trouvé tout ça ?

Posté par
Nightmarere : Equations Différentielles PREPA 20-01-05 à 17:39

Bon ... j'aurais pitet du vérifier ses solutions avant de me lancer dans les calculs sur lesquels il bloque


Jord

Posté par bstar (invité)re : Equations Différentielles PREPA 20-01-05 à 19:07

Oui effectivement je me suis trompé dans les solutions.
Mon erreur vient d'une erreur dans le calcul du delta. En effet delta=4-16=-12. (J'avais pris delta=0) Je rectifie et vous remercie de m'avoir indiquée mon erreur.
Sinon merci pour la question 3, j'ai bien compris et refais le calcul avec les nouvelles valeurs.

Posté par bstar (invité)re : Equations Différentielles PREPA 20-01-05 à 20:01

J'ai recommencé mes calculs et enfin trouvé la bonne solution (après vérification cette fois!)
J'ai donc trouvé:
y_P=e^{x}(\frac{1}{7}x-\frac{4}{49})
y_H=e^{-x}(C_1cos(\sqrt{3})x+C_2sin(\sqrt{3})x)

Par contre maintenant j'ai un probleme pour la question 3 car en résolvant l'équation h(0)=1 j'arrive a -\frac{4}{49}=1

:?

Merci de votre aide!

Posté par
Nightmarere : Equations Différentielles PREPA 20-01-05 à 20:08

C'est qu'il doit y avoir une erreur quelque part , vérifies bien tes solutions


Jord

Posté par bstar (invité)re : Equations Différentielles PREPA 20-01-05 à 21:26

C'est bon j'ai trouvé. Merci!
Auriez vous une aide à m'apporter pour la question 4.
Merci

Posté par bstar (invité)re : Equations Différentielles PREPA 21-01-05 à 14:39

Bonjour, pour la question 2.) a.)

Soit f:]0,\infty[ une fonction deux fois dérivable sur ]0,\infty[

Poser g(x)=f(e^x), vérifier que g est solution de (E): y''+2y'+4y=xe^x

Je trouve:

g(x)=f(e^x)
g'(x)=e^xf'(e^x)
g''(x)=e^{2x}f''(e^x)

En remplaçant d'ans l'equa diff, je trouve donc
e^{2x}f''(e^x)+2e^xf'(e^x)+4f(e^x)

Je ne vois pas comment cel apourrait etre égal a xe^x

Merci de votre aide!

Posté par bstar (invité)re : Equations Différentielles PREPA 22-01-05 à 16:40

svp aidez moi je suis complètement bloqué !
Merci infiniement

Posté par
Nightmarere : Equations Différentielles PREPA 22-01-05 à 16:47

Re

On te dit que ta fonction f vérifie :
t^2f''(t)+2tf'(t)+4f(t)=t.ln(t)

Autrement dit en posant :
t=e^{x} , f vérifie :
e^{2x}.f(e^{x})+2e^{x}.f(e^{x})+4.f(e^{x})=e^{x}.ln(e^{x})
soit :
e^{2x}.f(e^{x})+2e^{x}.f(e^{x})+4.f(e^{x})=x.e^{x}
donc g est bien solution de E

Je te laisse continué étant débloqué


jord

Posté par bstar (invité)re : Equations Différentielles PREPA 23-01-05 à 14:15

Merci bcp,
Je pense qu'il y a une erreur dans mon énoncé.
Mon énoncé indiquait:

t^2f''(t)+3tf'(t)+4f(t)=tlog(t)
Il doit en fait s'agir de:
t^2f''(t)+2tf'(t)+4f(t)=tln(t)

Avec ceci je trouve donc:

[g(x)]''+3[g(x)]'+4g(x)=xe^x
Ce qui prouve que g est bien solution

Par contre, je dois en déduire une expression de f dans la dernière question. Auriez vous une idée a me soumettre ???

Je rappelle ma solution générale:
y=e^x(\frac{1}{7}x-\frac{4}{49})+e^{-x}(C_1cos(\sqrt{3}x)+C_2sin(\sqrt{3}x))

Merci infiniement!

Posté par bstar (invité)re : Equations Différentielles PREPA 23-01-05 à 17:39

Au secours Nightmare!
Je sais plus quoi faire..


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