Bonsoir dreamgurl.

Tu indiques les formules à utiliser, mais que représente chacun des symbole utilisé ?

Bonsoir

Pour les racines carrées, voici ma méthode, pas forcement universelle :

On cherche un complexe z tel que

z²=-3+4i   , on pose z=x+iy  et donc z²=x²-y²+2ixy



On identifie les parties réelles, les modules et les parties imaginaires, ce qui donne le système suivant :

{
{
{

Tu additionnes la première et la dernière ligne pour trouver x (deux valeurs)
Puis tu remplaces avec chacune des deux valeurs de x dans la 2e ligne pour trouver deux valeurs de y.

Ce qui te donne deux racines carrées de la forme x+iy

Suis pas en forme pour l'orthographe ce soir ...

Enfin. Le but recherché par ton professeur, par cet exercice, est l'approche de la recherche des solutions d'une équation du second degré.  En effet, pour déterminer les solutions d'une équation du second degré, tu recherches et tu veux en connaître les racines carrées.
Les renseignements de Buth te sont profitables.  Une petite indication pour Buth : la recherche du module n'apporte rien pour trouver les racines carrées...
A+

mici mici buth mais je me demandais si tu pouvais poser
z²= -3+4i
je ne comprends pas vraiment pourquoi c'est égale au carré de z et pas tout simplement de z uniquement :?:?

sinon à part ca, ta méthode semble marcher ( mici )

ma_cor => que veux tu dire pour le module ? Je ne comprend pas bien. La deuxième solution est aussi de factoriser directement le complexe avec un carré, mais ce n'est pas toujours possible.

dreamgurl => d'une manière générale, une racine n-ième, notée z d'un nombre quelconque noté A par exemple, vérifie l'égalité : zⁿ=A

Par exemple, les racines carrées de A se notent z²=A
             les racines cubiques de A se notent z³=A

QU'est ce que la racine carré d'un nombre A ? => c'est un nombre dont le carré est égal à A

Tu me comprends ?

z= -3+4i

(x+iy)² = -3+4i
x²-y² + 2ixy = -3 + 4i

On identifie les 2 membres--->

x²-y²=-3
2xy = 4

x²-y²=-3
xy = 2

x = 2/y
4/y² - y² = -3
4 - y^4 = 3y²
y^4 + 3y² - 4 = 0

Poser y² = t (t >= 0)
t²+3t-4 = 0

t = -4 (à rejeter car pas positif) et t = 1

y² = 1
y = +/- 1

Si y = -1 --> x = -2
Si y = 1 --> x = 2

Les solutions sont donc: -1-2i et 1+2i
-----
Même tactique pour les 2 autres.
-----


On peut aussi faire autrement, mais cela ne va pas des mieux ici.

Je montre:

z= -3+4i
|z| = V(3²+4²) = V25 = 5  (Avec V pour racine carrée)

z = 5.(-0,6 + 0,8i)
z = 5.(cos(a + 2kPi) + i.sin(a + 2kPi))
V(z) = V5.(cos((a/2)+kPi) + i.sin((a/2)+kPi))

cos(a)=-0,6
sin(a)=0,8
---> a = 2,21429743559 radian

V(z) = V5.(cos(1,10714871779 + k.Pi) + i.sin(1,10714871779 + k.Pi))

k = 0 --> 1 + 2i
k = 1 --> -1 - 2i

Les solutions sont donc: -1-2i et 1+2i
-----
Sauf distraction.  

en fait pour vous répondre buth, la première partie s'intitule : " On va prouver que tout nombre complexe non nul a 2 racines carrées "

donc je ne pense pas vraiment qu'il y est du second degré puisqu'on est vraiment dans le chapitre complexe

mais bon peut etre qu'on peut utiliser la méthode du second degré , c'est ca???
je ne sais pas vraiment étant donné mon niveau tres faible en maths :(:(

@ tous ceux qui m'ont répondu, merci beaucouppp  

dreamgurl

Hum ça n'a rien à voir avec du second degré

Mais en même temps, c'est un tout petit peu trop compliqué pour le niveau terminale, donc ce n'est pas grave. Reste que ma méthode (ou celle de JP qui est équivalente) est correcte tout comme la tienne

Bonjour à tous.
Pour répondre à Buth, la formule utilisée n'est pas correcte : le module du nombre complexe x+iy est .
Ainsi, quand tu écris , ce n'est pas correct...
Tu dois écrire .
Dreamgurl, notre correcteur dévoué, J-P, t'a donné la méthode à suivre.
Je t'explique ce que tu vas rencontrer par la suite, peut-être.
Soit à résoudre l'équation complexe : .
Pour la résoudre, on calcule le : et tu constates que . Dans , cette équation n'a pas de solution, mais dans , elle en possède. En effet : et donc les racines carrées de sont 2i et -2i. Les solutions de ton équation sont alors ou .
En voici une autre : résoudre l'équation complexe .
Tu as : . Tu dois maintenant chercher les racines carrées de -1+4i : c'est ce que tu as dû faire aux exercices proposés...
Une deuxième chose : au premier exercice de ta prépa, on te donne -3+4i.
Si tu regardes de plus près, tu constates que : et donc les racines carrées de -3+4i sont 1+2i ou -(1+2i)=-1-2i. A méditer...
-------------------------
Sauf erreur de distraction.

En fait, la troisième ligne de mon système vient du fait que :



Or
et

Donc je ne vois pas ce qui n'est pas correct

Bonsoir.
Autant pour moi Buth. J'ai été omnibulé par le z=x+iy, alors que tu prends |z|².
Mille excuses.

Salut ma_cor,

Juste pour l'anecdote.

On voit souvent l'expression "autant pour moi", cependant dans le contexte où elle est généralement utilisée l'expression correcte est , "Au temps pour moi".

Si cela t'intéresse, un petit explicatif de l'origine de ces expressions est disponible en cliquant ici: