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Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 16:21

J'aimerais savoir comment vous avez fait pour trouver \tan \alpha = \sqrt{3} .

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 16:28

J'ai écrit  que l'on pouvait considérer un réel comme la tangente  d'un certain réel

sachant que \cos\dfrac{\pi}{3}= \dfrac{1}{2} et que \sin\dfrac{\pi}{3}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}

on peut en déduire que \sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3}

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 16:45

D'accord ,

Comment faire ensuite ?

Posté par
Pirhore : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 16:49

hekla @ 05-04-2020 à 16:18


Bonjour Pirho
Je ne vois pas ce que cela change.


on a directement le cos de la parenthèse et celui du 2d membre mais pour l'élève ça peut paraître moins évident

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 16:59

\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha}{\cos\alpha}

  On multiplie les deux membres par \cos \alpha

On obtient ce que j'ai écrit 15 :32  et ensuite  on applique 16 :18


\alpha étant ici \dfrac{\pi}{3}

Posté par
Pirhore : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 17:07

ben oui le passage par tan est la méthode classique, plus systématique !

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 17:21

Diviser par -2\sqrt{3}  je comprends car on pourrait écrire \dfrac{1}{2} comme \cos( \pi/3)  idem pour le sinus

Posté par
Pirhore : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 17:32

oui il est vrai qu'il faut remultiplier les termes de la parenthèse par 1/2

Posté par
Pirhore : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 17:41

oups! j'ai fait ça de tête et ai répondu une co...

effectivement il faut diviser par -2\sqrt{3}

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 17:56

Ok  hekla , c'est quoi ''a'' et ''b'' ?

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 05-04-20 à 18:11

Vous avez:

\cos \dfrac{\pi}{3}\cos \dfrac{x}{2}+ \sin \dfrac{\pi}{3}\sin \dfrac{x}{2}

Donc a =\dfrac{\pi}{3} et   b=\dfrac{x}{2}

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 11:03

Ok donc

\\ \cos \dfrac{\pi}{3}\cos \dfrac{x}{2}+ \sin \dfrac{\pi}{3}\sin \dfrac{x}{2}\geq-\sqrt{2} \\

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 11:12

Oui maintenant  formule de transformation  rappelée hier 16 :18

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 11:55

Çà va faire cos(π/3-x/2)≥ -√2

Or cos  est compris entre 1 et -1 d'où

[tex]S_{\R}=

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 11:56

Donc S_{]-2\pi;2π]}=

Merci.

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 11:57

kamikaz @ 06-04-2020 à 11:56

Donc S_{]-2\pi;2\pi]}=

Merci.

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 12:04

kamikaz @ 04-04-2020 à 09:39

Ok

c) sin(π/2 +3x)=sin(x-π/4)

D'où x=-3π/8-kπ ou

x=3π/16+(1/2)kπ (k de Z).

S_{\R}={-3π/8-kπ ;3π/16+(1/2)kπ} (k de Z).
kamikaz @ 04-04-2020 à 09:39

Ok

c) sin(π/2 +3x)=sin(x-π/4)

D'où x=-3π/8-kπ ou

x=3π/16+(1/2)kπ (k de Z).

S_{\R}={-3π/8-kπ ;3π/16+(1/2)kπ} (k de Z).

On demandait de résoudre c) dans ]-π;π], est ce la même chose dans R ?

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 12:08

Vous n'aviez multiplié qu'un membre de l'iénquation par \cos \dfrac{\pi}{3}

c'est évidemment des deux  côtés qu'il faut le faire

\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}

L'inéquation à résoudre est donc

\cos \dfrac{\pi}{3}\cos \dfrac{x}{2}+ \sin \dfrac{\pi}{3}\sin \dfrac{x}{2}\geqslant -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

ou         \cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2}\right)\geqslant -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

L'ensemble solution n'est pas vide

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 12:10

On demandait de résoudre c) dans ]-π;π], est ce la même chose dans R ?

Oups désolé ,je dois chercher les k .

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 12:11

L'ensemble solution n'est évidemment pas le même   Vous ne donnez que celles appartenant à cet intervalle en prenant la valeur adéquate à k

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 12:39

donc c) S_{]-\pi;\pi]}

={\dfrac{5\pi}{8};-\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{13\pi}{8};\dfrac{11\pi}{6};-\dfrac{5\pi}{16};\dfrac{3\pi}{16};-\dfrac{13\pi}{16}}

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 12:53

Il est certain que 13\pi/8 et 11\pi/6  ne sont pas dans ]-\pi~;~\pi]

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 13:00

Oups désolé

c) S_{]-\pi;\pi]}={\dfrac{5\pi}{8};-\dfrac{3\pi}{8};-\dfrac{5\pi}{16};\dfrac{3\pi}{16};-\dfrac{13\pi}{16}}

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 13:12

Si c'est juste alors

d) cos (π/3-x/2) ≥ cos (π/4)

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 13:28

C )

\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{3\pi}{8}~;~\dfrac{5\pi}{8}~;~\dfrac{3\pi}{16}~;~\dfrac{11\pi}{16}~;~-\dfrac{5\pi}{16}~;~-\dfrac{13\pi}{16}\right\}

si je n'ai pas fait d'erreurs

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 13:30

D) \cos \dfrac{3\pi}{4}= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 13:44

D'accord , tu pourrais me donner les valeurs de tes k .

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 14:03

Exercice C
on arrive à x=-\dfrac{3\pi}{8}+k\pi
k=0 ou k=1

ou x=\dfrac{3\pi}{16} +k\dfrac{\pi}{2}

k=0 ou k=1 ou k=-1 ou k= -2

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 14:09

Ok

d) pourquoi \cos \dfrac{3\pi}{4}= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ?

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 14:17

N'est-ce pas la valeur que vous avez  -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ?

Vous avez écrit

Citation :
d) cos (π/3-x/2) ≥ cos (π/4)


  mais \cos (\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.  Par conséquent ce n'était pas la valeur qui convenait.  En revanche pour   -\dfrac{\sqrt{2}}{2} il faut prendre \cos \dfrac{3\pi}{4}

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 14:35

Oui effectivement , alors

cos (π/3-x/2) ≥ cos (3π/4).

Comment faire ensuite ?

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 14:46

Ce que vous aviez fait lors de votre dernier exercice c ici Équations et inéquations trigo 1

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 15:07

S_{\R}==[   \dfrac{\pi}{24}-4k\pi; \dfrac{7\pi}{24}-4k\pi ]

Posté par
Priamre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 15:28

/24 ? Comment trouves-tu cela ?

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 15:32

(-π/12)/(-1/2)=π/24

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 15:37

On va déjà chercher les valeurs pour lesquelles on a l'égalité

\cos \left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2}\right) = \cos \dfrac{3\pi}{4}

\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2} =  \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi

ou \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2} = - \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi

premier cas

\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{3}- \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi le k n'est pas le même que le précédent  c'est toujours un relatif

\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{12}- \dfrac{9\pi}{12}+2k\pi

\dfrac{x}{2} = \dfrac{-5\pi}{12}+2k\pi

x = \dfrac{-5\pi}{6}+4k\pi

deuxième cas

\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2} = - \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi

\dfrac{x}{2} =\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi même remarque

\dfrac{x}{2} =\dfrac{4\pi}{12} + \dfrac{9\pi}{12}+2k\pi

\dfrac{x}{2} =\dfrac{13\pi}{12} +2k\pi

x =\dfrac{13\pi}{6} + 4k\pi

Placez ces points sur le cercle

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 15:37

Oups erreur de frappe c'est plutôt π/6 et 7π/6.

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 15:51

Voilà Équations et inéquations trigo 1

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 16:06

Oups désoléÉquations et inéquations trigo 1

Avec 13π/6 en jaune , -5π/6 en rouge et π/3 en vert .

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 16:20

On a donc  -\dfrac{11}{6}  qui correspond à k=-1 dans le second cas


  je pense donc \left [-\dfrac{11\pi}{6}~;~-\dfrac{5\pi}{6}] \cup[\dfrac{13\pi}{6}~;~2\pi]

mais sans aucune garantie. Je ne suis pas certain de cela.

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 16:22

Ok, mais comment vérifier ?

Posté par
Priamre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 17:45

J'ai un doute, car, pour x = - (valeur comprise entre  - 11/6  et  - 5/6), l'inéquation n'est pas vérifiée . . .

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 18:24

Alors là c'est serré.

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 18:30

Oui c'est manifestement faux car \dfrac{13\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi et par conséquent n'appartient pas à l'intervalle donné.

Sans compter que si x=0 \quad \cos \left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)= \dfrac{1}{2} qui est bien évidemment supérieur à - \dfrac{\sqrt{2}}{2}

0 appartient donc à l'ensemble solution.

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 18:48

Oui , évidemment .

Citation :

  je pense donc \left [-\dfrac{11\pi}{6}~;~-\dfrac{5\pi}{6}] \cup[\dfrac{13\pi}{6}~;~2\pi]


Vous feriez mieux de donner dans \R d'abord.

Et ensuite on trouverait les k adéquats .

Posté par
heklare : Équations et inéquations trigo 1 06-04-20 à 20:48

Vous ne proposez rien  C'est votre exercice. Il me semble plus facile sur un cercle que sur tous les réels d'abord

En reprenant

cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2}\right) \geqslant -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{ sur } ]-2\pi;2\pi  ]

-\dfrac{3 \pi}{4}\leqslant \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2}\leqslant\dfrac{3 \pi}{4}\quad \pmod{2\pi}

-\dfrac{3 \pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}\leqslant -\dfrac{x}{2}\leqslant\dfrac{3 \pi}{4}-\dfrac{\pi}{3} \quad \pmod{2\pi}

-\dfrac{13 \pi}{12}\leqslant -\dfrac{x}{2}\leqslant\dfrac{5 \pi}{12}  \quad \pmod{2\pi}

-\dfrac{5 \pi}{6}\leqslant x\leqslant\dfrac{13 \pi}{6} \quad \pmod{4\pi}

mais \dfrac{13\pi}{6}  est supérieur 2\pi

or [2\pi;\dfrac{13\pi}{6}]=[-2\pi~;~ -\dfrac{11\pi}{6}] \quad \pmod{4\pi}

donc  x\in]-2\pi~;~-\dfrac{11\pi}{6}]\cup [-\dfrac{5 \pi}{6}~;~2\pi]

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 07-04-20 à 08:14

Bonjour ,

Citation :
or [2\pi;\dfrac{13\pi}{6}]=[-2\pi~;~ -\dfrac{11\pi}{6}] \quad \pmod{4\pi}


Comment ?

Posté par
Priamre : Équations et inéquations trigo 1 07-04-20 à 08:49

En retranchant 4.

Posté par
kamikazre : Équations et inéquations trigo 1 07-04-20 à 11:07

Ok , donc mod4π =-4kπ .

Posté par
Priamre : Équations et inéquations trigo 1 07-04-20 à 11:09

Oui.

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