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equations fonctionnelles (fonctions carrées)
bonjour à tous!
voila mon petit probleme: soit f une fonction réelle bornée au visinage de 0 qui vérifie pour tout réel: f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))
j'ai pu montrer que f(0)=0 et que f est paire je dois maintenant prouver que pour tout (q,x)e QxR, f(rx)=r^2f(x)
je tourne un peu en rond si vous pouvez me donner une piste elle sera la bienvenue..
merci!
Bonjour,
deja ca marche pour n=2.
Essaie pour n naturel deja tu en deduiras par parité pour tout entier et ensuite pour tout rationnel.
Pour les entiers peut etre une recurrence j'ai pas essayé:
f(nx)=?
f(x+(n-1)x)+f((n-2)x)=2(f(x)+f((n-1)x))
f((n-1)x)=(n-1)²f(x) et f((n-2)x)=(n-2)²f(x) d'ou:
f(nx)=2(f(x)+(n-1)²f(x))-(n-2)²f(x)=f(x)(2+2n²-4n+2-n²+4n-4)=n²f(x).
Bon ca marche 
Par parité f(-nx)=f(nx)=n^2f(x)=(-n)^2f(x).
Si r=p/q ,f((p/q)x)=f(p(x/q))=p^2f(x/q).
f(px)=q²f(rx) donc f(rx)=f(px)/q²=p²/q²f(x)=r²f(x)...
ouééé ça marche merci beaucoup!!
et sans doute à bientot
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