Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

Equations matricielles (2)

Posté par
raymond Correcteur
04-04-08 à 00:54

Bonsoir.

Le premier topic sur les équations matricielles a montré que ce n'était pas toujours très simple d'arriver à la solution.

En cherchant des exercices sur la dualité, je suis tombé par hasard ce soir sur un sujet proposé au centre Condorcet.
Il s'agit du problème suivant.

Citation :
A et B étant deux éléments donnés de Mn(C), résoudre dans Mn(C) l'équation :
M + tr(M).A = B, où tr(M) désigne la trace de la matrice M.


Après avoir bien cherché, je pense avoir résolu la question. Je vous laisse réfléchir.

A plus RR.

Posté par
blang
re : Equations matricielles (2) 04-04-08 à 08:50

Bonjour

Si M existe, on a : tr(M)(1+tr(A))=tr(B)

- Supposons tr(B)0 ;

donc tr(A)-1 et tr(M)=\frac{tr(B)}{1+tr(A)}

d'où M=B-\frac{tr(B)}{1+tr(A)}A (réciproquement, on peut vérifier que M marche bien).

- Si tr(B)=0 ;

-- Soit tr(A)-1 et alors tr(M)=0 d'où M=B (réciproquement M marche bien)

-- Soit tr(A)=-1 et n'importe quelle matrice du type M=B-A ( ) fonctionne.

BILAN :

- Si tr(B)0 et tr(A)=-1,  S=


- Si tr(B)0 et tr(A)-1,  S=\left{ B - \frac{tr(B)}{1+tr(A)}A \right}


- Si tr(B)=0 et tr(A)-1,  S={B}


- Si tr(B)=0 et tr(A)=-1,  S={B-A, }

Posté par
blang
re : Equations matricielles (2) 04-04-08 à 08:55

Remarque : On peut bien sûr regrouper les cas n°2 et n°3 du BILAN en un seul

Posté par
raymond Correcteur
re : Equations matricielles (2) 04-04-08 à 10:10

Bonjour blang.

J'arrive aux mêmes conclusions que toi, mais cela m'a coûté beaucoup plus de travail que ce que tu proposes.

Ta méthode est très efficace.

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteur
Equations matricielles (2) 15-05-08 à 18:38

Un up uniquement technique.

Cordialement RR.

Posté par
1 Schumi 1
re : Equations matricielles (2) 15-05-08 à 18:48

Bonsoir tout le monde,

Raymond >> J'avais fait cet exo dans le cours de réduction, il y a un moment avec la même méthode que blang. J'avoue ne pas trop voir comment procéder de manière naturelle autrement. Peux-tu nous exposer ta solûce, ou au moins l'idée de ta démo?

Posté par
raymond Correcteur
re : Equations matricielles (2) 15-05-08 à 19:47

Bonjour 1 Schumi 1.

J'ai rédigé quatre chapitres sur la dualité. Le chapitre IV est en relecture actuellement.

Dans ce chapitre IV, j'expose cet exercice. Je ne t'en donne donc ici qu'un bref résumé.

J'étudie l'endomorphisme F € L(Mn(K)) défini par F : M ---> M + tr(M).A

Polynôme minimal et conséquences.

Quand la relecture et le traitement du chapitre IV seront effectués, tu pourras consulter la correction.

A plus RR.

Posté par
1 Schumi 1
re : Equations matricielles (2) 16-05-08 à 20:07

Ok raymond, 5 you.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !