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Équations polynomiales
Bonsoir,
J'ai un blocage avec un exercice dans lequel on considère le polynôme P défini sur C par:
P(z)=az3+bz2+cz+d où a non nul. P possède 3 racines distinctes: z1, z2 et z3. Je dois écrire la forme factoriser de P(z) et développer cette forme.
Lorsque j'ai ax2+bx+c sa forme factorisée est a(x-x1)(x-x2).
Donc si c'est un polynôme du 3ème degrés j'ai: a(z-z1)(z-z2)(z-z3) ? je ne sais pas si marche comme ça.
bonjour
en l'absence de Pirho que je salue et qui reprend la main dès qu'il le peut.
oui, c'est la factorisation.
hum ça m'étonnerait
ce que tu écrit là est une forme développée, et qui n'a rien à voir avec le développement de a(z-z1)(z-z2)(z-z3)
montre ce que tu as fait
normalement, dans la forme correctement développée, tu dois avoir des termes de degré 3, 2, 1 et 0.
sur ce que tu trouves, je vois des termes en z (degré 1) et des constantes.
pas de degré 2 ni 3
non reste des erreurs
garde "a" sans le distribuer (en facteur, tu le distribueras à la fin)
si tu développes tout, avant réduction tu dois en effet compter 8 termes.
tu peux commencer par développer (z-z1)(z-z2) ,
pour limiter les erreurs. (montre déjà ce que tu trouves là)
puis quand tu as fini ton développement, regroupe les termes par degré décroissant
tu dois trouver une forme a(z³ + Az² + Bz + C)
où A, B et C sont exprimés en fonction de z1, z2 et z3
aïe tu vas te faire gronder, les scans sont interdits !
tu dois tout taper au clavier...
c'est mieux, juste une erreur de signe sur le 6ème terme, c'est + zz1z3
à présent, regroupe les termes par degré décroissant, comme indiqué ci-dessus.
à la fin, tu distribueras ton "a" pour que le développement soit complet.
Bonjour,
vu que carita à répondu sur ce calcul, je le laisse en photo pour garder du sens à la discussion
mais toute récidive serait sanctionnée, et avec suppression immédiate de l'image !
à lire : le règlement 
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci et la FAQ [lien]
(en particulier la question Q05 sur les images autorisées)
modérateur.
Ah désolé je pensais que l'on avait pas le droit de prendre en photo uniquement l'exercice comment je peux supprimer la photo ?
Sinon merci beaucoup.
comment je peux supprimer la photo
et on va poursuivre sur le fond (sur les calculs effectués et à suivre)
ton développement est bon
on peut écrire aussi,
P(z)=az3- az2(z3+z2+z1)+az(z2z3+z1z3+z1z2)-az3z1z2
pour les questions suivantes, tu sais faire ?
La question suivante consiste à déterminer , en fonction de a, b, c et d, z1+z2+z3 (j'ai trouvé -b/a), z1z2+z2z3+z1z3 (j'ai trouvé c/a) et z1z2z3 (-d/a). J'ai trouvé mes résultats grâce à la technique de l'identification.
Cependant mes résultats me semblent étranges car dans les exemples vus en classe les résultats ne se ressemblent pas.
tes résultats sont exacts.
pourquoi dis-tu que ces résultats sont étranges ?
montre ton exemple de cours.
oui, à partir d'un cas concret, où a, b, c et d sont connus, ainsi que les 3 racines z1, z2 et z3,
tu peux vérifier tes résultats ici, qui sont valables pour tout polynôme de degré 3.
bonne continuation !
merci j'en aurais besoin car maintenant je dois montrer que Q polynôme défini dans C par:
Q(z)= 18z3-27z2+13z-2
possède 3 racines réelles x1, x2 et x3 que l'on ne cherchera pas à calculer.
Merci d'avance de votre aide svp
Je sais qu'il y a 3 racines car c'est un polynôme de degrés 3 cependant je ne sais pas comment montrer que ses racines sont réelles.
Je viens de me rendre compte que je ne peux pas calculer le discriminant car c'est un polynôme de degrés 3. Pourriez vous m'aider svp ?
bonsoir Nunusse
excuse-moi, pas très disponible aujourd'hui, mais j'avais vu ta question et elle m'a trottée dans la tête.
en fait, je n'ai pas la réponse, juste quelques réflexions : peut-être en raisonnant par l'absurde ?
en utilisant les réponses aux questions précédentes, on sait que la somme, le produit et x1x2+x1x3+x2x3 sont tous trois des réels.
1) on sait que la courbe représentative intersecte au moins une fois l'axe des réels, donc il y a au moins une racine réelle
2) cas une seule racine complexe (avec partie imaginaire non nulle) :
dans ce cas, l'addition des 3 racines sera forcément complexe, idem pour la multiplication, donc pas possible
2) cas 2 racines complexes (avec parties imaginaires non nulles) :
là ça se complique
car si les 2 complexes soit conjugués l'un de l'autre, les somme, produit etc. soient réels.
une méthode serait peut-être de poser x[sub]1= mi + p (j'évite les a, b x, et y)
et x[sub]2= m'i + p ' (mm'
0)
de poser un système avec les somme, produit, etc.,
et de voir qu'on arrive à des parties imaginaires nulles.
sans conviction, car je n'ai pas le temps dans l'immédiat d'essayer la piste.
et peut-être bien que la réponse est beaucoup plus simple !
je signale le topic, un autre aidant saura sans doute mieux que moi et t'évitera des calculs inutiles.
Ce n'est pas grave j'ai encore jusqu'à lundi pour le rendre. Cependant je n'ai pas très bien compris ce que vous m'avez expliqué.
merci j'en aurais besoin car maintenant je dois montrer que Q polynôme défini dans C par:
Q(z)= 18z3-27z2+13z-2
possède 3 racines réelles x1, x2 et x3 que l'on ne cherchera pas à calculer.
Merci d'avance de votre aide svp
Bonjour, juste une confirmation s'il te plaît: s'agit-il bien du même exercice?
Dans lequel il faut tenir compte des résultats précédents?
Oui, c'est dans le même exercice. En revanche ce n'est pas précisé de prendre en compte les résultats précédents.
Dans ce cas, tu peux étudier la fonction Q(x) dans 
Mais je crains que ça ne soit pas ce qu'on te demande
Oui en effet il y'a 0,5 mais si je factorise par (z-0,5) ?
J'aurais: Q(z)= (z-0,5)(az2+bz+c)
J'utilise ensuite le principe d'identification puis j'aurais a, b et c et je pourrais commencer à résoudre l'équation de ce polynôme factorisé qui sera plus simple en utiliser le théorème d'un produit nul si et seulement si l'un de ses facteurs et nul.
je trouverais que la première racine vaut 0,5. Ensuite pour (az2+bz+c) je regarderais le signe du discriminant qui devrait être supérieur à zéro. Par conséquent j'aurais uniquement des racines réelles.
Super merci et je pense oui car je ne chercherais pas les valeurs des autres racines, je m'arrêterais au signe du discriminant. j'espère surtout que le discriminant positif ce que je vais vérifier tout de suite.
je partage mon calcul...
celui dont je parlais, à savoir poser un système avec pour hypothèse :
1 racine réelle x1 (non nulle)
et 2 racines complexes quelconques (pas forcément conjuguées),
et en utilisant les résultats de la 1ère question.
j'arrive rapidement à montrer que les deux complexes sont conjugués l'un de l'autre.
en poursuivant les calculs, j'arrive à une équation en x1, du second degré, dont le discriminant est négatif, i.e. pas de solution réelle pour x1.
donc hypothèse fausse, donc pas de racine complexe.
en revanche, je ne sais pas si c'est la meilleure façon de répondre à la question posée par l'énoncé…
Bonjour,
La question suivante de cet exercice est de déterminer la valeur de 1/x1+1/x2+1/x3 grâce aux formules Viète que j'ai trouvé précédemment. Je sais que l'expression de z1+z2+z3 est -b/a. Cependant je ne sais pas si j'ai le droit de faire 1/-b/a car la question me demande de déterminer les inverses des racines.
Merci d'avance pour votre aide.
par curiosité : tu reviendras nous dire la méthode attendue,
quand tu auras le corrigé ? (pour la seconde question).
on veut savoir ! 
!
bonne soirée
Excusez moi de vous déranger encore (décidément ce dm...), mais j'ai encore besoin d'aide svp.
la question suivante me demande de déterminer un polynôme de degrés 3 ayant trois racines. Je sais que z1+z2+z3=17
z1z2+z2z3+z1z3=94
z1z2z3=168
Je sais donc que dans un polynôme supposons R(z) de forme
R(z)=az3+az2+cz+d
On a en m'aidant des formules de Viète:
-b/a=17
c/a=94
-d/a=168
Je pense que je suis supposé faire un système mais j'ai vraiment du mal.
c'est un DM à tiroirs ?
on doit donc déterminer un polynôme de degré 3, R(z)=az³+az²+cz+d
et non pas trouver les valeurs des racines.
tu as posé le bon système
-b/a=17
c/a=94
-d/a=168
3 équations pour 4 inconnues (a,b,c et d)
cela signifie que 3 variables vont s'exprimer en fonction de la 4ème.
et donc une infinité de polynômes possibles (d'où le "un polynôme ")
tu n'as besoin que du système que tu as posé... ça t'aide à avancer?
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