bonjour

ben là, je t'ai carrément tout dit; le reste se fait en 3 lignes.

tu as le système et
"3 équations pour 4 inconnues (a,b,c et d)
cela signifie que 3 variables vont s'exprimer en fonction de la 4ème."

observe ton système, les réponses sont immédiates pour exprimer b c et d.

puis propose une expression développée de f(x)

Bonjour,

je doute que cette méthode soit efficace
car cela reviendrait à résoudre une équation générale de degré trois, ce que l'on ne sait pas faire (tout du moins pas à ce niveau)

OK pour le fait qu'il existe "au moins une" racine réelle
on peut s'intéresser à la recherche de racines rationnelles
(dite "évidentes")

pour cela justifier que si une telle racine p/q existe, alors nécessairement p divise d et q divise a
ce qui permet de limiter la recherche par essais
une fois qu'on en a trouvé une, on peut ramener l'équation au second degré en factorisant par x - p/q

autre méthode efficace aussi (et ce serait la seule si on ne trouve pas de racine évidente)
on sait dériver, donc trouver les variations (dans R puisqu'on cherche les racines réelles) et calculer les minimum et maximum s'il y a

le TVI donnera alors le nombre de racines réelles

des méthodes d'approximations successives permettront d'en calculer des valeurs approchées...
et de "voir" les racines évidentes que l'on aurait ratées

bonjour mathafou
excusez-moi mais je ne comprends pas,
vous parlez de la dernière question ?

j'y suis
c'est la question 2) pour montrer que les racines sont toutes réelles (sans les calculer)

avec le système j'ai trouvé comme polynôme:
R(z)=z³+17z²+94z+168.

Cependant la question suivante me dit de vérifier mon résultat avec 4 comme racine. Et je ne trouve pas zéro.

oups, de mon côté je n'avais pas vu que sanantonio312 avait largement avancé voire terminé cette question là et que on en était à la suivante et même celle d'après.
(déconnecté le temps du basculement vers le reconfinement, j'ai raté le suivi entre temps)

je n'ai donc rien dit (de plus que ce qui avait déja été dit)

erreur de signe sur b et d

super merci !

mathafou,  pas de souci.
au contraire, ça confortera Nunusse dans son choix.

en revanche, je précise que la méthode que j'ai développée (sur ma feuille)
est tout à fait du niveau terminale, voire 1ère si ce n'était les nombres complexes (pas de degré 3 à résoudre).

à la fin du topic (pour ne pas embrouiller Nunusse), j'en montrerai les grandes lignes des calculs.
après tout, je peux être à coté .... :/

... d'autres questions gigognes à ce DM ?

Oui...
la dernière
P(z)=z³+3z²+Yz-3.
Y (lambda mais je ne sais pas comment faire sa lettre) est un nombre réel
Je dois la trouver grâce aux relations de Viète pour que les racines forment une suite arithmétique.
Je sais que ici Y représente c et je sais que c/a=z₁z₂+z₁z₃+z₂z₃
où a=1
donc
c= z₁z₂+z₁z₃+z₂z₃  
or les racines forment une suite arithmétique
donc on a
U_n=U₀+nr
Donc la j'ai vraiment un souci

Je sais aussi que le produit des racines vaut 3 grâce à la formule de Viète (-d/a). Je sais également que la somme des racines vaut 3 aussi.
De plus,
z₁=z₂+r=z₃+2r

z₃=z₂+r=z₁+2r --- attention tu as fait erreur sur les indices

continue sur cette piste, additionne les 3 racines, exploite le produit, ...

sauf erreur, on arrive à exprimer les racines en fonction de r seulement
(je n'ai pas terminé;  je reprendrai après le repas)

la somme vaut -3

Ça marche bon appétit

où tu en es ?

J'ai exprimer z₃ et z₂ en fonction de z₁ et r.
Ce qui me donne avec la somme
-3=z₁+z₁+r+z₁+2r=3(z₁+r)
-1=z₁+r
Ensuite c'est le néant dans ma tête.

mais non, ce n'est pas le néant.
déroule seulement ta piste jusqu'au bout : c'est la bonne !

r = -1-z₁

tu en déduis z₂, puis z₃ en fonction de r
et puis en avant leur produit (égal à 3)
on trouve r²
puis avec la somme des produits croisés, on trouve c (ou )

pour le cazou :     z₁ = -1 - r

J'ai donc
z₂=z₁+1*(-1-z₁)
=-1

z₃=z₁+2*(-1-z₁)
=-z₁-2

J'ai alors
c=z₁*(-1)*(-z₁-2)+z₁*(-z₁-2
=-z₁
=-1-r

Or je ne connais ni la valeur de z₁ ni celle de r.

Je me suis trompée plutôt c=1+r

14h48

donc z₃=-1+r
mais je ne connais pas r

donc z₃=-1+ r -------  oui
mais je ne connais pas r ---- pour le moment

tu as
z1 = -1-r
z2 = -1
z3 = -1+r

et tu sais que le produit des 3 racines = 3 ==> tu vas trouver r

ahh ouii mercii j'ai donc
(-1+r)*(-1)*(-1-r)=3
(je passe les lignes de calculs...)
j'ai donc r=2
ce qui m'aide énormément

ne passe pas trop tes lignes de calcul...

parce que normalement tu dois arriver à r² = 4
pas pareil que r=2 ^^
on garde ce résultat sous le coude, en attendant la suite.

la suite, c'est la somme des produits croisés, à reprendre...

** ne passe pas trop vite tes lignes de calcul.

Je pense avoir réussi et je trouve que c=-1.

Merci énormément pour votre aide il ne me reste plus qu'à copier au propre j'essaierais de ne pas oublier de vous faire part de ma note (et de la méthode attendue à la question 3.a) dès que j'aurais ma copie.

Merci encore bon week-end

Oui en effet j'ai r₂=4
ça veut dire que r=2 car la racine de 4 vaut 2. Je ne comprends pas.

mon erreur*

ben alors ?

r² = 4   r=2 OU r=-2

pour la suite immédiate, n'utilise pas ce résultat, repars à partir des expressions
z1 = -1-r
z2 = -1
z3 = -1+r

ne n'avais pas vu 15h02

oui c = -1

avec plaisir

oui, j'aimerais bien savoir pour la 2)
bonne continuation !

Super, merci encore

Bonjour,

Un petit retour sur le polynôme . De manière générale, on peut chercher à faire disparaître le carré de la variable dans une équation de la forme par un changement de variable . Ceci revient à faire une translation pour que la somme des racines soit nulle. On voit qu'il faut pour cela prendre (normal, c'est un tiers de la somme des racines). Ici .
On voit alors que l'équation en obtenue par le changement de variable a une forme très simple ...

Je ne pense pas que ce soit la méthode attendue

bonjour GBZM

par curiosité, j'essaie la piste que vous indiquez.
=1/2, pas de problème.
mais la forme simple de l'équation, pas trouvée... faut développer/réduire ? factoriser ?
Merci!

Nunusse
il y a quand même une question que je ne t'ai pas posée, sait-on jamais...
as-tu dans le cours un théorème ou une propriété justement sur les racines réelles ou complexes d'un polynôme de degré 3 ?

Bonjour,

J'ai reçu ma copie corrigée et j'ai eu un 20/20 !!!
La méthode attendue à la fameuse question pour montrer que les racines du polynôme étaient réelles était effectivement celle que j'avais faite. C'est à dire factoriser par sa racine évidente puis identifier les coefficients avant de calculer delta qui était positif.

Merci encore énormément  pour votre aide

bonjour Nunusse

merci pour ce retour d'information.
et....

bonne continuation sur cet élan  !

Merciii