Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup TrigonométrieTopics traitant de trigonométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Équations trigonométriques

Posté par
grungie 18-09-16 à 19:22

Bonjour ! J'ai ces 2 équations a résoudre mais je n'y arrive vraiment pas... quelqu'un pourrait m'aiguiller ? Merci d'avance 😊 :
a) sinx - cosx = 6/2

b) 3cosx + 4sinx = 52

Posté par
Glapion Moderateurre : Équations trigonométriques 18-09-16 à 19:37

sin x - cos x = -2 sin(/4-x) devrait arranger les choses

pour l'autre, trouve le maximum de 3 cos x + 4 sin x (on trouve 5) et tu verras bien que ça ne peut jamais valoir 52

Posté par
grungiere : Équations trigonométriques 18-09-16 à 22:27

Je ne comprend pas... je ne vois vraiment pas comment procéder

Posté par
Pirhore : Équations trigonométriques 18-09-16 à 22:46

Bonsoir,

tu peux retrouver le second membre en écrivant que sin (x )-cos(x)=sin(x)-sin(\dfrac{\pi}{2}-x) \\

et en appliquant la formule sin(p)-sin(q)=2 sin(\dfrac{p-q}{2})cos(\dfrac{p+q}{2})  au second membre

Posté par
DOMOREAre : Équations trigonométriques 19-09-16 à 08:15

bonjour,
sin(x)-cos(x)=\frac{\sqrt{6}}{2}  équivalent à
sin(x)-cos(x)>0 et (sin(x)-cos(x))^2=\frac{6}{4}  équivalent à
sin(x)-cos(x)>0 et 2sin(x)cos(x)=-1/2    donc sin(2x)=-1/2   ainsi
sin(x)-cos(x)>0 et (2x=-\frac{\pi}{6} +2k\pi ou 2x=|\frac{7\pi}{6} +2k\pi)
donc sin(x)-cos(x)>0  et( x=-\frac{\pi}{12} +k\piou  x=-\frac{7\pi}{12} +k\pi)
en tenant compte de la condition sin(x)-cos(x)>0 , il reste sauf erreurx=-\frac{7\pi}{12} +2k\pi)

Pour la deuxième il n'y a pas de solution car en posant cos(a)=3/5 et sin(a)=4/5
l'équation devient cos(a)cos(x)+sin(a)sin(x)=\sqrt{2} donc cos(a-x)=\sqrt{2} >1

Posté par
mdr_nonre : Équations trigonométriques 19-09-16 à 12:08

bonjour : )

DOMOREA,
Tu as introduit un signe - dans le passage de 2x = \frac{7\pi}{6} \, [2\pi] à x = {\red -}\frac{7\pi}{12} \, [\pi].

On trouve comme ensemble solution \left(\frac{7\pi}{12} + 2\pi\Z\right)\cup\left(\frac{11\pi}{12} + 2\pi\Z\right) car -\frac{\pi}{12} + \pi\Z = \left(-\frac{\pi}{12} + 2\pi\Z\right)\cup\left(\frac{11\pi}{12} + 2\pi\Z\right) et \sin\left(-\frac{\pi}{12}\right) - \cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) < 0 et \sin\frac{11\pi}{12} - \cos\frac{11\pi}{12} > 0

Posté par
Razesre : Équations trigonométriques 19-09-16 à 16:10

a) \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2} (1)

Nous avons l'identité trigonométrique: \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y  (2)

Préliminaire avant d'utiliser l'identité trigonométrique
Nous avons l'expression: \alpha \sin x +\beta \cos x=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\left (\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2} }\sin x + \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\cos x\right );

\exists y\in\mathbb{R}, tel que: \cos y=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} et \sin y=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}

Donc d'après (2) \alpha \sin x +\beta \cos x=\sin(x+y)

Dans notre cas: \alpha=1;  \beta=-1; \sqrt{\alpha^2+\beta^2}=\sqrt{2}, donc:

On trouve alors: \cos y=\frac{\sqrt{2}}{2};\sin y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow y=-\frac{\pi}{4}+2k\pi ; k\in\mathbb{Z}

D'après (1) et (2), nous obtenons :\sqrt{2}\sin(x+y)=\frac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow \sin(x+y)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\left ( \frac{\pi }{3} \right )

\left\{\begin{matrix}x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2k\pi\\ x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{3}+2k\pi\\k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{7\pi }{12}+2k\pi\\ x=\frac{11\pi }{12}+2k\pi\\k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.

Posté par
vhamre : Équations trigonométriques 19-09-16 à 17:22

Bonjour,

on peut aussi faire tout simplement

sin(x)-cos(x)=\frac{\sqrt{6}}{2}  \Leftrightarrow  sin(x)cos(\frac{\pi}{4})-cos(x)sin(\frac{\pi}{4}) =\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \ \ sin(x-\frac{\pi}{4}) = sin( \frac{\pi}{3})

Posté par
vhamre : Équations trigonométriques 19-09-16 à 17:43

re,

intervention ci-avant juste pour expliciter la réaction première de Glapion  18-09-16 à 19:37....que grungie n'avait pas comprise

Posté par
Razesre : Équations trigonométriques 19-09-16 à 20:55

vham @ 19-09-2016 à 17:43

re,

intervention ci-avant juste pour expliciter la réaction première de Glapion  18-09-16 à 19:37....que grungie n'avait pas comprise
Pour que grungie ne soit pas perdu, ce que tu propose est exactement ce que j'ai proposé et que Glapion avait proposé dans la toute première réponse. (ce n'est pas plus simple)

Si ma réponse semble longue, c'est uniquement du fait que j'ai inséré l'identité remarquable utilisé et j'avais détaillé la méthode pour traiter en général les expressions du type \alpha \sin x +\beta \cos x dont le cas actuel. Car grungie n'avait pas compris ce qu'avait posté Glapion et ne pouvait pas savoir d'où provenait le \frac{\pi}{4}.

Posté par
vhamre : Équations trigonométriques 20-09-16 à 00:28

Bonne nuit,

Salutations Razes,
Je soulignais juste , lorsque les coefficients sont tous deux +1 ou -1, que l'on pense automatiquement à /4 dont les cos et sin sont égaux.
Mais votre intervention (19-09-16 à 16:10) est la bonne pour trouver le maximum 5 de la question b)

Posté par
Razesre : Équations trigonométriques 20-09-16 à 01:09

Bonsoir vham,
Pour le 1 et -1, je suis d'accord avec toi et même pour d'autres valeurs. De mon coté, je n'ai pas de soucis avec ça, mais c'était plus pour grungie et pour les personnes qui ne savent pas.

J'ai rédigé une méthode apprise il y a très longtemps et qui est très pratique et efficace dans beaucoup de cas, mais une fois on commencer à maitriser on peut s'en passer pour certains cas.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !