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Equivalence X métrisable <=> C(X) séparable
Bonsoir à tous,
je me retrouve un peu pris de court. J'ai une proposition de mon livre :
Soit (X, T) un espace compact. Alors :
1) C(X) (l'ensemble des applications continues de X dans 
) sépare les points de X
2) On a équivalence entre
i) (X, T) est métrisable
ii) C(X) est séparable
Je comprends bien la démo SAUF QUE je n'ai pas celle pour l'implication i) -> ii), je suis renvoyé à un autre livre de la collection et ça m'embête un peu car je n'ai pas assez d'argent pour acheter ce dernier, et ma B.U est fermée (de toute manière je ne crois pas qu'elle possède le livre en question). Auriez-vous une démonstration à me fournir (ou du moins un pdf sur lequel me diriger), ça me frustre pas mal de ne pas savoir comment fonctionne les choses. Par ailleurs, je n'ai pas eu la définition des "espaces métrisables" et j'ai du regarder sur Internet, si j'ai bien compris un espace métrisable (X, T) c'est un espace où les ouverts de T sont des réunions de boules ouvertes pour une distance d ( et donc sont des ouverts d'un espace métrique (X,d) ) ? Un peu comme R où la topologie de l'ordre coïncide avec celle de la distance d(x,y) = | x - y | ?
Merci d'avance pour vos réponses !
fonctionnent les choses.
pardonnez les fautes d'orthographes (il y en a peut-être des autres)
....Dire qu'un espace topologique (X , T) est métrisable c'est dire qu'il existe une distance d sur X telle que T soit la topologie associée à d ( T est l'ensemble des réunions de d-boules ouvertes ).
....Dire qu'un espace topologique (E,S) est séparable c'est dire qu'il existe une partie de E qui est finie ou infinie dénombrable et qui est aussi dense dans E .
Tu écris en 1 :
C(X , ) sépare les points de X .
Comment le montres-tu ?
Merci pour la définition d'espace métrisable.
Pour 1:
(X, T) est un espace compact. Comme tout espace compact est normal, (X, T) est normal. De plus, (X, T) étant séparé, pour tout x de X, {x} est fermé.
En appliquant le théorème (ou lemme) de Urysohn,
au sens où la restriction à {x} est la fonction identiquement égale à 1 et idem pour {y} avec la fonction identiquement nulle
ce qui montre que C(X, ) sépare les points de X.
Ce serait super ! J'ai ajouté mon mail, normalement il est disponible en cliquant sur mon profil (je ne crois pas que je puisse le déposer directement de le fil de discussion, désolé)
J'essaye tant bien que mal de répondre par mail, mais apparemment outlook fait des siennes (ou bien ma connexion connait une petite faiblesse ce soir...). Quoi qu'il en soit je te remercie beaucoup, tout est bien claire et je n'en attendais pas autant. Je te contacterai si j'ai besoin de quelques précisions ou si j'ai des questions à l'avenir.
Passe une bonne soirée
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