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Equivalence

Posté par
Kekeee 10-12-20 à 13:15

Bonjour, je peine à trouver une solution au problème suivant:

« Soit (un)n telle que un+1=un+e-un et u0=1. Déterminer un equivalent de un. »

Merci à tous.

Posté par
carpediemre : Equivalence 10-12-20 à 13:59

salut

tout d'abord déterminer la limite de la suite (u_n) ... peut-être ...

Posté par
Kekeeere : Equivalence 10-12-20 à 14:46

Si on suppose que u CV alors l=l+e-l or exp(-l)>0 donc c'est absurde.

Donc u DV vers l'infini

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equivalence 10-12-20 à 17:42

Bonjour,
@Kekeee,
Merci de respecter le point 1. de
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci (Clique sur ce lien).

Posté par
etniopalre : Equivalence 10-12-20 à 18:10

     Pour les suites vérifiant   un+1 = f(un)  pour tout n entier   on commence par étudier f :variations , dessin de sa courbe représentative  ....

Posté par
carpediemre : Equivalence 10-12-20 à 18:40

la suite diverge et elle est évidemment croissante par positivité de l'exponentielle ...

u_0 = 1 \\ u_1 = u_0 + e^{-u_0} \\ u_2 = u_1 + e^{-u_1} \\ ... \\ u_n = u_{n - 1} + e^{-u_{n - 1}}

en sommant on obtient u_n = 1 + \sum_0^{n - 1} e^{-u_k}

tout revient à trouver un équivalent de cette somme ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equivalence 27-02-21 à 18:41

Bonjour

On cherche un équivalent simple de la suite réelle (u_n)_{n\geqslant0} définie par la relation récurrente : \Large \boxed{\left\lbrace\begin{array}l u_0=1 \\\\ \forall n\in\mathbb N ~,~ u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}\end{array}}

\boxed{1} Comme l'a déjà vu Kekeee, on établit assez facilement que \Large \boxed{u_n\to+\infty}

\boxed{2} En posant \Large \boxed{v_n=e^{-u_n}} on a \Large \boxed{v_n\to0} et \Large \boxed{\left\lbrace\begin{array}l v_0=e^{-1} \\\\ \forall n\in\mathbb N ~,~ \ln\left(\frac{v_n}{v_{n+1}}\right)=v_n\end{array}} et donc \Large \boxed{\frac{v_n}{v_{n+1}}\to1}

ce qui donne \Large \boxed{v_n\sim\frac{v_n}{v_{n+1}}-1} ou encore \Large \blue\boxed{\frac{1}{v_{n+1}}-\frac{1}{v_n}\to1}

\boxed{3} le lemme de Césaro donne alors \Large \blue\boxed{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{v_{k+1}}-\frac{1}{v_k}\right)~\to~1} et donc \Large \blue\boxed{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{v_n}-e\right)~\to~1}

On conclut alors que \Large \blue\boxed{nv_n~\to~1} et donc que \Large \blue\boxed{\ln(n)-u_n~\to~0} ce qui donne \Large \red\boxed{u_n~\sim~\ln(n)} sauf erreur bien entendu

Posté par
etniopalre : Equivalence 28-02-21 à 17:03

     Bonjour  elhor_abdelali !
      Je ne comprends pas pourquoi   v(n) \sim  v(n)/v(n+1) - 1    si    v(n)/v(n+1)   1   .

Posté par
carpediemre : Equivalence 28-02-21 à 17:47

car ln x x - 1 quand x tend vers 0 ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equivalence 28-02-21 à 19:34

Bonjour etniopal

c'est comme l'a dit carpediem \Large \boxed{\ln x ~\sim~ x-1} en 1 sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
etniopalre : Equivalence 01-03-21 à 07:48

Merci   carpediem & elhor_abdelali !

Posté par
perroquetre : Equivalence 01-03-21 à 08:26

Bonjour à tous.

C'est une très jolie solution que elhor_abdelali nous a proposée. En utilisant presque la même idée, voici ce que j'obtiens.

Je rappelle qu'il s'agissait d'obtenir un équivalent de la suite (u_n)_{n\in\mathbb N} définie par:    \forall n \in \mathbb N \ , \ u_{n+1} = u_n +e^{-u_n} (on a vu que la valeur du premier terme n'avait pas d'importance).

Je définis   x_n=e^{u_n} et j'obtiens:  \forall n\in\mathbb N \ , \  x_{n+1}=x_n \exp\left( \dfrac{1}{x_n}\right)
Cela me permet d'établir que   \lim \left(x_{n+1}-x_n\right) = 1, puis que x_n\sim n, puis que u_n \sim \ln(n)

Je peux améliorer maintenant ce résultat en remarquant que:
x_{n+1} = x_n \exp\left( \dfrac{1}{x_n}\right) = x_n \left(1+\dfrac{1}{x_n}+\dfrac{1}{2 x_n^2} + {\rm o}\left(\dfrac{1}{x_n^2}\right)\right) = x_n+1+\dfrac{1}{2n}+{\rm o}\left(\dfrac{1}{n}\right)
En utilisant un théorème de sommation des équivalents, j'arrive à:
x_n=n+\dfrac{1}{2}\ln (n) +{\rm o}\left( \ln (n)\right)

Je vous laisse écrire le développement asymptotique correspondant pour u_n.


NB: en continuant le développement asymptotique avec la même idée, le troisième terme dépend de la valeur de u_0.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equivalence 04-03-21 à 11:15

Bravo perroquet

Je réfléchissais justement à un moyen pour déterminer un équivalent de \large \boxed{u_n-\ln n}


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