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Equivalence à démontrer
Bonjour, j'ai un problème sur un énoncé que j'ai en dm. Je vous dis l'énoncé :
On suppose que f : E -> E vérifie 
p 
2 ; fp = f. Montrer que f injective 
f surjective.
fp = f o f o ... o f (p fois)
Ici le problème c'est que je ne vois pas du tout comment procéder !
Enfin par exemple si je veux montrer que si f injective alors f surjective, je ne vois pas de quoi partir ! Je sais comment se traduit l'injectivité mais je ne vois pas comment cela peut impliquer la surjectivité de cette fonction... De même donc dans l'autre sens !
Vous auriez une piste à me proposer ?
Merci d'avance !
Bonjour,
Supposons f injective. Soit y dans E. On lui cherche un antécédent. Or fp(y) = f(y)...
En sens inverse, supposons f surjective, et soient x et y dans E tels que f(x) = f(y). x et y ont des antécédents x' et y' ...
Cordialement
Frenicle
Bonjour lexouu,
peux-tu préciser ce que sont E et f?
Un espace métrique quelconque et une application de E dans E?
Euh et bien j'ai recopié l'énoncé juste là ^^ mais vu qu'on parle d'injectivité et de surjectivité, f doit être une application, et E est un ensemble je suppose aussi ^^
Bonjour lexouu
1) supposons f surjective et montrons que f est injective
soient x et y tels que f(x)=f(y).
Applique alors la surjectivité à x et y.
2) supposons f injective et montrons que f est surjective
soit y dans E.
En utilisant directement l'égalité vérifiée par f ainsi que l'injectivité de f, essaie de conclure.
Kaiser
Ah non je sais pas encore ce que c'est les espaces métriques ^^
Avec tes propositions j'ai fait comme ça :
supposons f surjective.
Soient x et y tels que f(x) = f(y)
Comme f est surjective :
Il existe y appartenant à E tel que f(y) = x
Il existe x appartenant à E tel que f(x) = y
D'où x = y donc f est injective. Mais j'ai le droit de faire comme ça ? ^^
Suposons à présent que f soit injective.
Soit y appartenant à E.
On a f o f o ... o f (y) = f(y) si je traduis l'hypothèse.
Comme f injective on a f(f(...(f(y)))= y
Donc pour tout y appartenant à E, il existe un X appartenant à E tel que f(X) = y
Avec ici X = f(f(...f(y)) (p-1 composées)
Ca serait bien ça ?
supposons f surjective.
Soient x et y tels que f(x) = f(y)
Comme f est surjective :
Il existe y appartenant à E tel que f(y) = x
Il existe x appartenant à E tel que f(x) = y
D'où x = y donc f est injective. Mais j'ai le droit de faire comme ça ? ^^
non, tu ne peux pas.
Tu dois prendre d'autres lettres : il existe x' et y' tele que y=f(y') et x=f(x').
Suposons à présent que f soit injective.
Soit y appartenant à E.
On a f o f o ... o f (y) = f(y) si je traduis l'hypothèse.
Comme f injective on a f(f(...(f(y)))= y
Donc pour tout y appartenant à E, il existe un X appartenant à E tel que f(X) = y
Avec ici X = f(f(...f(y)) (p-1 composées)
Ca serait bien ça ?
pas vraiment, ici, on a f(X)=f(y).
On aurait plutôt
Kaiser
Mais du coup je n'y arrive pas pour la première.
Si je dis qu'il existe x' et y' tels que y=f(y') et x=f(x')
Comme on a supposé f(x) = f(y)
On a fonc f(f(x')) = f(f(y'))
Or il existe un p tel que fp(x')=f(x') et fp(y')=f(y')
On a donc f(x')=f(y') C'est à dire y=x donc c'est démontré.
Ah en fait si c'est ça on trouve finalement ^^
Pour la deuxième implication en fait, j'ai dit que fp(y)=f(y)
Or on suppose f injective donc on a fp-1(y) = y
Donc il existe X appartenant à E tel que f(X) = y
Et X = fp-2(y)
Ah oui en fait je me contredis tout seul...
Apparemment c'est terminé enfin je pense pas qu'il faut en dire plus !
Merci beaucoup pour votre aide ! (o:
Mais je t'en prie ! 
Mais du coup je n'y arrive pas pour la première.
Si je dis qu'il existe x' et y' tels que y=f(y') et x=f(x')
Comme on a supposé f(x) = f(y)
On a fonc f(f(x')) = f(f(y'))
Or il existe un p tel que fp(x')=f(x') et fp(y')=f(y')
On a donc f(x')=f(y') C'est à dire y=x donc c'est démontré.
Ah en fait si c'est ça on trouve finalement ^^
c'est bien ça. Encore une fois, il faut bien précser où l'on se sert que p est au moins égal à 2.
Pour la deuxième implication en fait, j'ai dit que fp(y)=f(y)
Or on suppose f injective donc on a fp-1(y) = y
Donc il existe X appartenant à E tel que f(X) = y
Et X = fp-2(y)
OK !
Kaiser
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