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équivalence d'une suite définie par une intégrale

Posté par
garnouille 22-08-19 à 02:04

Bonjour, voici le sujet :

voici le sujet pour tout entier n non nul, on pose
K_n=\int_0^1e^{t}*t^{n} dt

1) Montrer que la suite  (K_n) est croissante et positive
2) Donner une relation de récurrence entre K_n  et K_{n+1}
3) Montrer que la suite  (K_n)  tend vers 0
4) Montrer que  (K_n) \sim e/n   pour n \rightarrow +

mes réponses et mes questions :

1) en partant de :
Pour tout t dans [0;1], on a  0 tn+1 tn
on répond à la question

2) avec une intégration par parties, je trouve :
Kn+1 = e - (n+1)*Kn

3) La suite étant décroissante et minorée par 0, elle converge vers un nbre positif ou nul x
ensuite, je ne suis pas sûre de la validité de mon raisonnement :
en utilisant la formule de récurrence, x  est solution de l'équation :
x = e - (n+1)x d'où x = e/(n+2) donc x=0



4) je n'ai aucune idée de départ  : que faire ?

Merci d'avance

Posté par
Jezebethre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 04:06

Bonjour

1 et 2 ok (il y a une coquille dans l'énoncé, elle est bien sûr décroissante).

garnouille @ 22-08-2019 à 02:04

3) La suite étant décroissante et minorée par 0, elle converge vers un nbre positif ou nul x
ensuite, je ne suis pas sûre de la validité de mon raisonnement :
en utilisant la formule de récurrence, x  est solution de l'équation :
x = e - (n+1)x d'où x = e/(n+2) donc x=0


Non !! + incompréhensible à la fin. n bouge !

Pour y répondre on a clairement 0\leq K_n \leq \frac{e}{n+1}.

De même pour 4 un encadrement simple de \frac{n}{e}K_n permet de conclure.

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 09:01

merci beaucoup pour cette réponse : en effet, j'ai mal copié la première question, la suite est décroissante

pour 3) en partant de :
0 t1
1ete
tntnet e.tn
par intégration sur [0;1]
\frac{1}{n+1} \leq K_n\leq \frac{e}{n+1}
on conclut avec le th des gendarmes (à gauche, la minoration par 0 suffit)

pour 4 )
en reprenant l'inégalité de 3)

\frac{n}{e}K_n\leq \frac{n}{e}.\frac{e}{n+1}

\frac{n}{e}K_n\leq \frac{n}{n+1}


la limite du membre de droite est 1

je cherche à minorer . \frac{n}{e} Kn par une expression qui tend aussi vers 1 mais ça ne vient pas....

Posté par
luzakre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 09:02

Bonjour Jezebeth !
Je n'ai pas l'impression qu'un encadrement "simple" suffise pour l'équivalent !
J'attendrai que tu donnes la solution à garnouille

Posté par
luzakre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 09:11

Bonjour garnouille !
Je n'avais pas vu ta réponse !

Je ne connais pas de solution plus simple que le procédé suivant :

Généralisons au cas où on remplace l'exponentielle par une fonction continue f telle que f(1)\neq0.
Alors \int_0^1t^nf(t)\mathrm{d}t-\dfrac{f(1)}{n+1}=\int_0^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t
En choisissant a convenablement voisin de 1, et en ajoutant les intégrales sur [0,a],\;[a,1] tu peux montrer que la différence indiquée est inférieure (en valeur absolue) à M\dfrac{\varepsilon}{n+1} (M est une constante à définir).

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 09:45

merci luzac & Jezebeth

luzac, je vais essayer d'exploiter ta proposition

Jezebeth, la réponse à la question 3) parait tellement simple quand tu la donnes que j'ai un peu honte de l'avoir ratée !

Posté par
perroquetre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 12:13

Bonjour à tous.

Voici une autre solution de la quatrième question. Comme luzak, je généraliserai au cas d'une fonction continue f.
En posant le changement de variable u=t^{n+1}, on obtient:
\int_0^1 t^n   f (t) dt = \dfrac {1}{n+1} \int_0^1 f \left ( t^{1/(n+1)}  \right) dt .

Ensuite, le théorème de convergence dominée permet de conclure.

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 18:54

avec la piste de luzac

\left|\int_0^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|\leq \left|\int_0^at^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|+\left|\int_a^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|


\left|\int_0^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|\leq \left|\int_0^at^n*M_1\mathrm{d}t\right|+\left|\int_a^1t^n*M_2\mathrm{d}t\right|

M1 et M2 étant les max de la fct sur chaque intervalle


\left|\int_0^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|\leq\frac{M_1*a^{n+1}}{n+1} +\frac{M_2*(1-a^{n+1})}{n+1}

faut-il poser a=1+\epsilon ?    M=max(M_1;M_2)  ?


mais je ne vois pas la suite et j'ai même l'impression de tourner en rond... j'avoue manquer de connaissances, je ne travaille habituellement qu'au niveau terminale

Merci perroquet, je vais commencer par revoir ce théorème

Posté par
Jezebethre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 19:36

Bonjour

Tout à fait, je n'avais pas les yeux en face des trous et comptais utiliser \frac{n}{e(n+1)} \leq K_n \leq \frac{n}{n+1}, qui ne conclut évidemment pas.

Posté par
Jezebethre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 19:39

*lire \frac{n}{e}K_n

Posté par
luzakre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 22-08-19 à 23:38

Soit \varepsilon>0, M un majorant de |f|.
On choisit a tel que a<t<1\implies|f(t)-f(1)|<\varepsilon

\Bigl|\int_0^a(f(t)-f(1)t^n\mathrm{d}t\Bigr|\leq2M\int_0^at^n\mathrm{d}t\leq\dfrac{2Ma^{n+1}}{n+1}\leq\dfrac{\varepsilon}{n+1} si n>n_0 (limite de la suite n\mapsto a^n).

\Bigl|\int_a^1(f(t)-f(1))t^n\mathrm{d}t\Bigr|\leq\varepsilon\int_a^1t^n\mathrm{d}t\leq\varepsilon\dfrac1{n+1}

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 23-08-19 à 10:49

merci beaucoup !     

je ne suis pas (encore?) capable de maitriser mais je vais encore retravailler vos suggestions

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 23-08-19 à 22:32

J'ai essayé de finir...

\\ \left|\int_0^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|\leq \left|\int_0^at^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|+\left|\int_a^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|

par addition des inégalités obtenues par Luzac

quel que soit >0, on a :


\left|\int_0^1t^n\bigl(f(t)-f(1)\bigr)\mathrm{d}t \right|\leq\frac{2\epsilon }{n+1}

donc K_n-\frac{f(1)}{n+1} tend vers 0

comme \frac{f(1)}{n+1}=\frac{e}{n+1}0

K_{n}\sim \frac{e}{n+1} et donc K_{n}\sim \frac{e}{n}

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 24-08-19 à 07:48

à partir de la relation de récurrence entre Kn et Kn+1

Kn+1 = e - (n+1)*Kn

Kn =\frac{e-_{K_{n+1}}}{n+1}


\frac{n}{e}K<sub>n</sub>\frac{e-K_{n+1}}{n+1}*\frac{n}{e}

\frac{n}{e}K_n=  \frac{e-K_{n+1}}{e}*\frac{n}{n+1}

à droite, le calcul de limite donne 1 donc Kn\sim \frac{e}{n}


qu'en pensez-vous ?

Posté par
perroquetre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 24-08-19 à 12:01

Bonjour, [b]garnouille[/b].

La démonstration que tu as faite à 7h48 est exacte (et élégante).
Par contre, le raisonnement que tu as fait le 23 aout à 22h32 est incorrect.

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 24-08-19 à 19:13

Merci Perroquet

Je préfère la dernière méthode mais j'aimerais savoir où l'autre raisonnement déraille

Posté par
perroquetre : équivalence d'une suite définie par une intégrale 24-08-19 à 20:23

En fait, il n'y a qu'une erreur.  
Il faut remplacer la troisième ligne avant la  fin par:

Citation :
Donc (n+1)\left ( K_n-\dfrac{ f (1)}{n+1}\right) tend vers 0

Posté par
garnouillere : équivalence d'une suite définie par une intégrale 25-08-19 à 06:52

D'accord, merci !


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