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équivalence de fonctions en un point ?

Posté par
francis_aix 17-09-06 à 12:13

Bonjour,

On dit que les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de a s'il existe une fonction \phi telle que \left\{ \begin{array}{l}f(x)=\phi(x)\times g(x) \\ \lim\limits_{x\rightarrow a}\phi(x)=1 \end{array}\right..

Concrètement, lorsque l'on connait l'expression de f(x), comment fait-on pour trouver l'expression de g(x)?

Merci d'avance,
Francis

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équivalence de fonctions en un point ? 17-09-06 à 12:47

Bonjour,

Est-ce l'énoncé d'un exercice ou une question que tu te poses ?

Nicolas

Posté par
francis_aixprécision 17-09-06 à 13:09

Re !

C'est simplement une question.
J'ai bien une petite idée, en utilisant la formule de Taylor-Young. Le problème est qu'on ne l'a pas encore abordé en cours.
J'ai juste quelques formules du style:
\sin x\sim\limits_0 x ou encore \cos x\sim\limits_0 1-\frac{x^2}{2}.
Je voulais savoir s'il y avait une méthode générale pour fabriquer ce genre de formule.

Merci encore,
Francis

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équivalence de fonctions en un point ? 17-09-06 à 13:16

Si f et g sont équivalentes, tu ne peux pas "déduire" g de f.
En effet, il y a une infinité de fonctions g équivalentes à f.

Posté par
francis_aixquestion ce coup-ci... 17-09-06 à 13:43

Du coup la seule chose que l'on peut me demander pour l'instant c'est de démontrer que deux fonctions sont équivalentes ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équivalence de fonctions en un point ? 17-09-06 à 15:37

Oui.
Es-tu tombé sur d'autres situations ?

Posté par
francis_aixre : équivalence de fonctions en un point ? 17-09-06 à 18:28

Oui... pour calculer des limites où toutes les méthodes "classiques" ne permettaient pas d'enlever les indéterminations. Ou alors je n'ai pas vu l'astuce...

Comment puis-je calculer la limite suivante si je ne me sers pas des fonctions équivalentes ?

\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{\left(x^2-10\right)^{10}-1}{\left(5x+1\right)^{\frac{3}{4}}-8}.

Pour info, je me suis contenté de dire que (en utilisant la formule de Taylor-Young):

\left(x^2-10\right)^{10}-1\sim\limits_{3}-60(x-3)
\left(5x+1\right)^{\frac{3}{4}}-8\sim\limits_{3}\frac{15(x-3)}{8}

D'où:

\frac{\left(x^2-10\right)^{10}-1}{\left(5x+1\right)^{\frac{3}{4}}-8}\sim\limits_{3}-32

Et finalement,

\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\left(x^2-10\right)^{10}-1}{\left(5x+1\right)^{\frac{3}{4}}-8}=-32.

Après vérification à la calculette, ca a l'air de fonctionner. Mais je ne sais toujours pas comment le démontrer autrement.

Merci encore.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équivalence de fonctions en un point ? 18-09-06 à 08:57

Citation :
Comment puis-je calculer la limite suivante si je ne me sers pas des fonctions équivalentes ?


Avec les outils habituels de Terminale.

Soit f\; :\; x\mapsto\left(x^2-10\right)^{10}-1 dérivable en 3.
f'(x)=10.2x.(x^2-10)^9
f'(3) = -60

Soit g\; :\; x\mapsto\left(5x+1\right)^{\frac{3}{4}}-8 dérivable en 3.
g'(x)=\frac{3}{4}5(5x+1)^{-\frac{1}{4}}
g'(3)=\frac{15}{8}

\begin{array}{rcl} \\ \frac{\left(x^2-10\right)^{10}-1}{\left(5x+1\right)^{\frac{3}{4}}-8} &=& \frac{\frac{\left(x^2-10\right)^{10}-1}{x-3}}{\frac{\left(5x+1\right)^{\frac{3}{4}}-8}{x-3}}\\ \\ & \to & \frac{f'(3)}{g'(3)}=\frac{-60}{\frac{15}{8}}=\fbox{-32} \\ \end{array}

Ci-dessous quelques rappels.

Nicolas

***

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\displaystyle\frac{\cos{x^2}-1}{x^2}=\frac{\cos{x^2}-\cos 0}{x^2-0}\to \cos '0=-\sin 0=0

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hospital
Théorème. Soit a un point d'un intervalle I non réduit à a. Soient f et g deux fonctions définies sur I\setminus\{a\} (et même éventuellement sur I tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de I\setminus\{a\}. Si :
(i) f et g tendent toutes deux vers 0 ou toutes deux vers l'infini en a, et
(ii) g' ne s'annule pas sur I\setminus\{a\},
alors il existe un voisinage V de a tel que g ne s'annule pas sur V\cap I\setminus\{a\}, et, sous réserve d'existence de la limite de droite :
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
Dans le cas où a serait l'extrémité gauche (resp. droite) de I, ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).
(merci à Tigweg pour l'aide précieuse apportée à la formulation de ce théorème )

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équivalence de fonctions en un point ? 18-09-06 à 08:57

(C'était donc la méthode (2))


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