Niveau doctorat

Equivalence entre Convergence et Lemme de Cesàro généralisé ?

Posté par
Sugaku 31-08-22 à 13:24

Bonjour à tous.

C'est une question qui n'est pas tiré d'un cours ou d'un livre que je vous pose ici. En travaillant sur les moyennes de Cesàro on peut observer qu'on peut toujours trouver un contre-exemple à l'implication [Cesàro-convergence] $\implies$ [Convergence]. Or, nous avons la généralisation suivante du Lemme de Cesàro suivant :

Proposition :
Si $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite de réels convergent vers $\ell$ alors pour toute suite strictement croissante $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de réels positifs qui diverge vers $+\infty$ on a $\frac{1}{A_n} \sum_{k=1}^{n} (A_k-A_{k-1}) u_k$ qui converge également vers $\ell$ .

Et ma question est la suivante : cette proposition est-elle une équivalence ?

Comme dit précédemment, si on remplace le "pour tout" par un "il existe" dans la conclusion, l'équivalence devient fausse mais les contre-exemples à une $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ fixé ne sont plus valables pour d'autres choix de telles suites. De ce fait j'aimerais savoir si on a équivalence ou s'il y a un contre-exemple qui m'échappe.

Merci à tous pour vos réponses.

Posté par re : Equivalence entre Convergence et Lemme de Cesàro généralisé 31-08-22 à 15:53

Bonjour,

Soit $(u_n)$ une suite de réels qui ne converge pas vers $\ell$ . Alors on peut trouver une suite $(a_n)$ de réels strictement positifs tels que la série $\sum_n a_n$ diverge et que la suite des $(\sum_{k=0}^na_nu_n)/ (\sum_{k=0}^n a_n)$ ne converge pas vers $\ell$ quand $n$ tend vers l'infini.

Posté par re : Equivalence entre Convergence et Lemme de Cesàro généralisé 31-08-22 à 16:03

Bonjour

Si on prend $A_n=1$ pour tout $n$ , la suite $\frac{1}{A_n} \sum_{k=1}^{n} (A_k-A_{k-1}) u_k$ est identiquement nulle pour n'importe quelle suite $(u_n)$

Posté par re : Equivalence entre Convergence et Lemme de Cesàro généralisé 31-08-22 à 17:22

Camelia, bonjour.
Ta suite $(A_n)$ n'est pas strictement croissante et ne diverge pas vers $+\infty$ .
Mes petits $a_n$ ne sont pas des grands $A_n$ .

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