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Equivalence norme et boules
Bonjour,
J'essaie de résoudre cet exercice :
Montrer que deux normes dans sont équivalentes si et seulement si toute boule centrée à l'origine pour l'une des normes est incluse dans une boule centrée à l'origine pour l'autre norme.
J'en suis arrivé à la conclusion qu'en prenant deux normes supposées équivalentes, on avait
et qu'il "suffit" de trouver un rayon pour
la boule associée à
qui implique que
, avec
la boule associée à la norme
mais je ne trouve pas.
C'est pourquoi je vous pose la question : suis-je sur la bonne piste ? Je raisonne par double implication : avez-vous des idées pour l'implication inverse ?
Merci pour votre aide,
Lantean
D'accord. Au passage, ce qu'on va voir est vrai dans n'importe quel espace vectoriel normé.
Hypothèse : les deux normes N1 et N2 sont équivalentes.
Donc il existe un réel a>0 tel que aN1 
N2.
Donc si tu considères un x dans la boule unité de N2, alors N2(x)1 et donc aN1(x)1 d'où N1(x)1/a et x se trouve donc dans la boule N1 centrée en 0 et de rayon 1/a.
De même, par équivalence des normes, il existe un réel b>0 tel que N2 bN1.
Si tu considères un x dans la boule unité de N1, alors x se trouve dans la boule N2 centrée en 0 et de rayon b.
Merci pour ta réponse !
Ça m'aide beaucoup. Mais pour être sûr tu viens pas de prouver deux fois ce qu'il fallait démontrer ?
Deux fois, non !
J'ai d'abord dis qu'on pouvait une boule de N2 dans une boule de N1 et par un procédé similaire, on pouvait mettre une boule de N1 dans une boule de N2.
Maintenant, il faut prouver que si la boule unité pour N1 est dans une boule de N2 (centrée en 0), et si la boule unité pour N2 est dans une boule de N1 (centrée en 0), alors les normes N1 et N2 sont équivalentes.
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