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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Equivalence norme et boules

Posté par
TheLantean
13-10-21 à 23:09

Bonjour,

J'essaie de résoudre cet exercice :

Montrer que deux normes dans \R sont équivalentes si et seulement si toute boule centrée à l'origine pour l'une des normes est incluse dans une boule centrée à l'origine pour l'autre norme.

J'en suis arrivé à la conclusion qu'en prenant N_1,N_2 deux normes supposées équivalentes, on avait N_2 < CN_1 et qu'il "suffit" de trouver un rayon pour B_2 la boule associée à N_2 qui implique que B_2 \subset B_1 , avec B_1 la boule associée à la norme N_1 mais je ne trouve pas.

C'est pourquoi je vous pose la question : suis-je sur la bonne piste ? Je raisonne par double implication : avez-vous des idées pour l'implication inverse ?

Merci pour votre aide,

Lantean

Posté par
jsvdb
re : Equivalence norme et boules 13-10-21 à 23:13

Bonsoir TheLantean.
Tu parles de normes dans \R ou de normes dans espace vectoriel sur \R ?

Posté par
TheLantean
re : Equivalence norme et boules 13-10-21 à 23:21

Merci de ta réponse !

Erratum : c'est deux normes dans \R^2

Posté par
jsvdb
re : Equivalence norme et boules 13-10-21 à 23:35

D'accord. Au passage, ce qu'on va voir est vrai dans n'importe quel espace vectoriel normé.

Hypothèse : les deux normes N1 et N2 sont équivalentes.

Donc il existe un réel a>0 tel que aN1 N2.
Donc si tu considères un x dans la boule unité de N2, alors N2(x)1 et donc aN1(x)1 d'où N1(x)1/a et x se trouve donc dans la boule N1 centrée en 0 et de rayon 1/a.

De même, par équivalence des normes, il existe un réel b>0 tel que N2 bN1.
Si tu considères un x dans la boule unité de N1, alors x se trouve dans la boule N2 centrée en 0 et de rayon b.

Posté par
TheLantean
re : Equivalence norme et boules 13-10-21 à 23:54

Merci pour ta réponse !

Ça m'aide beaucoup. Mais pour être sûr tu viens pas de prouver deux fois ce qu'il fallait démontrer ?

Posté par
jsvdb
re : Equivalence norme et boules 13-10-21 à 23:57

Deux fois, non !
J'ai d'abord dis qu'on pouvait une boule de N2 dans une boule de N1 et par un procédé similaire, on pouvait mettre une boule de N1 dans une boule de N2.

Posté par
jsvdb
re : Equivalence norme et boules 14-10-21 à 00:08

Maintenant, il faut prouver que si la boule unité pour N1 est dans une boule de N2 (centrée en 0), et si la boule unité pour N2 est dans une boule de N1 (centrée en 0), alors les normes N1 et N2 sont équivalentes.

Posté par
TheLantean
re : Equivalence norme et boules 14-10-21 à 12:51

Merci pour ta réponse, je comprends. Je pense que je peux m'occuper de cette partie seule.

Bonne journée à toi et merci pour ton aide !



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