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Equivalent

Posté par
mmemaths 29-10-17 à 14:43

Bonjour,

Je dispose d'une fonction g qui est C1 sur [0,1] et souhaite montrer que pour tout entier k compris entre 1 et n, on a  :

g(\frac{k-1}{n})-g(\frac{k}{n}) \sim \frac{1}{n}g'(\frac{k}{n})   lorsque n tend vers l'infini.

J'ai pensé à utiliser la formule de Taylor-Young mais je suis perturbé par le fait que dans la formule générale de T-Y, on a par exemple f(x) en fonction de f(a) où x varie mais où a est fixé. Alors que dans le cas présent, les deux valeurs varient. Je ne sais donc pas comment rédiger cela de façon rigoureuse.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
verdurinre : Equivalent 29-10-17 à 15:07

Bonjour,
il y a nécessairement quelque chose de fixé.
Soit k est fixe et la démonstration me semble accessible.
Soit k est une fonction de n ( c'est à dire que l'on a une suite fixée kn ) telle que la suite kn/n ait une limite en plus l'infini.

Sinon je ne voit pas comment donner un sens à l'expression.

Posté par
mmemathsre : Equivalent 29-10-17 à 15:28

Bonjour,
Merci pour votre réponse ; effectivement j'ai mal rédigé. Je veux montrer :

\forall k\in {{1,...,n}}  ,   g(\frac{k-1}{n}) - g(\frac{k}{n}) \sim \frac{1}{n}g'(\frac{k}{k})lorsque n tend vers l'infini.
C'est-à-dire que je fixe k. J'ai pris k plus petit que n simplement pour ne pas avoir de problème de définition, mais comme n tend vers l'infini dans l'équivalent, je pense qu'on peut prendre un entier k quelconque.

Posté par
verdurinre : Equivalent 29-10-17 à 17:20

J'écrirais plutôt

\forall k \in \N   ,   g(\frac{k-1}{n}) - g(\frac{k}{n}) \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{1}{n}g'(\frac{k}{n})

Il se trouve que c'est faux. On peut le voir facilement en prenant la fonction identité pour g.

Il faut peut-être montrer que

\forall k \in \N   ,   g(\frac{k}{n}) - g(\frac{k-1}{n}) \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{1}{n}g'(\frac{k}{n})

Si g est C1 sur [0;1] on a g'(\frac{k}{n})\underset{n\to\infty}{\sim} g'(0)

Il me semble que le problème se pose vraiment quand g est C1 sur ]0;1].

Posté par
luzakre : Equivalent 29-10-17 à 18:56

Bonsoir verdurin !
Pour ton dernier équivalent (qui serait plutôt \dfrac1n\,g'(0)) il serait bon d'ajouter " si g'(0)\neq0".

Mais comme tu l'as déjà dit l'énoncé est mal fichu !
Il serait bon que mmemaths nous dise si l'énoncé a été posé comme ça ou s'il a besoin de cet équivalent dans une démonstration ? Auquel cas il serait intéressant de connaître le lien éventuel entre k et n !
Parce que le résultat me semble faux quand, par exemple g(x)=x^2 : on aurait alors

g(\frac kn)-g(\frac{k-1}n)=\dfrac{2k-1}{n^2}\underset{n \to +\infty}{\quad\simeq\quad}\dfrac1ng'(\frac kn)=\dfrac{2k}{n^2}.

Posté par
verdurinre : Equivalent 29-10-17 à 19:49

Bonsoir luzak.
je n'ai pas vraiment le temps, mais il me semble que

\dfrac{2k-1}{n^2}\underset{n \to +\infty}{\quad\simeq\quad}\dfrac{2k}{n^2}

Posté par
luzakre : Equivalent 29-10-17 à 22:56

Tu arrives à montrer que la constante (par rapport à n) \dfrac{2k-1}{2k} a pour limite 1 ?

Plus simplement, si k=1, aurais-tu \dfrac1{n^2}\underset{n \to +\infty}{\quad\simeq\quad}\dfrac2{n^2} ?

Posté par
etniopalre : Equivalent 29-10-17 à 23:54

Il me semble que la proposition

  g    C1  ( [0,1] , )  , k * ,  on a : g'(\frac{k}{n}) \underset{n\to\infty}{\sim} g'(0)   .
  n'est par vraie .
Si elle l' était vraie ,  lorsque  g '(0) = 0 ,  et k = 1   il existerait  N tel que g '(k/n) = 0 pour tout n > N .

__________________

   Si on veut savoir  si la suite  n n( g((k+1)/n) - g(k/n))  converge  le TAF et la continuité de g ' en 0 suffisent à montrer qu'elle converge vers  g '(0) .
Pourquoi s"embarasser d'équivalent ?

Posté par
verdurinre : Equivalent 30-10-17 à 00:49

Bonjour,
la définition de f~g n'est pas lim(f/g) =1.

Posté par
luzakre : Equivalent 30-10-17 à 08:03

Si c'est une définition lorsque les fonctions (à valeurs réelles) ne s'annulent pas sur un intervalle !

Maintenant, si tu veux la définition : \dfrac{2k}{n^2}-\dfrac{2k-1}{n^2}=\dfrac1{n^2} qui n'est pas négligeable devant \dfrac{2k}{n^2}!


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