Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

Equivalent

Posté par
Ramanujan
29-12-19 à 12:39

Bonjour,

Donner un équivalent de \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{k}} lorsque n tend vers + \infty.

Je ne vois pas par où commencer. Si c'est possible d'avoir une petite indication pour démarrer.

Merci d'avance.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equivalent 29-12-19 à 12:43

Bonjour, curieux énoncé, la somme diverge pour toute valeur de n, on ne peut pas donner un équivalent de quelque chose qui est infini.

Posté par
XZ19
re : Equivalent 29-12-19 à 12:45

Bonjour
Sur un forum tu proposes un exercice qui est faux  
(équation différentielle qui n'a pas de solution sur R)
et ici  tu crois vraiment que ça a du sens ta question?

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 12:55

L'équation différentielle donnée dans l'autre forum provient d'un site d'un professeur. Je me méfierai dorénavant.

Ici c'est un exercice de l'officiel de la Taupe 2017 mais j'ai fait une erreur en effet et je m'en excuse c'est :

Donner un équivalent de \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} lorsque n tend vers + \infty.

Posté par
lionel52
re : Equivalent 29-12-19 à 13:19

Tu encadres par une intégrale etc.

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 13:25

OK merci je vais essayer ça.

Posté par
Ulmiere
re : Equivalent 29-12-19 à 13:29

Ou alors tu connais ton cours sur les séries à terme général positif strictement décroissant et la dérivée de sqrt(x) ...

Posté par
XZ19
re : Equivalent 29-12-19 à 13:46

Rebonjour
Ok pour l'erreur, c'est plus rassurant.
Une autre possibilité est de voir le lien de cet somme avec une somme de Riemann  associée à l'intégrale
\int_0 ^1 1/\sqrt{1+x} dx =2 \left(-1+\sqrt{2}\right)

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 13:53

Je n'ai pas trop compris avec la somme de Riemann.

Dans le cours, la somme de Riemann va de 0 à n-1 ou de 1 à n. Par ailleurs je ne vois pas de f(\dfrac{k}{n})

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 14:21

Ah poser le changement d'indice j=k-n pour se ramener à une somme de Riemann usuelle ?

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 15:08

S=\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}= \sum_{j=1}^{n}  \dfrac{1}{\sqrt{j+n}}

D'où S=\dfrac{1}{\sqrt{n}}  \sum_{j=1}^{n}  \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}}

Un souci ici encore dans le cours c'est du 1/n devant la somme ici j'ai une racine carrée.

Posté par
Jezebeth
re : Equivalent 29-12-19 à 15:13

Bah fais-le apparaître...

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 15:23

Ok merci je trouve donc S=2 \sqrt{n} (\sqrt{2}-1) . La limite est non nulle pour n très grand.

D'où l'équivalent : \boxed{ S \sim 2 \sqrt{n} (\sqrt{2}-1)}

Posté par
Ulmiere
re : Equivalent 29-12-19 à 15:30

Attention, S n'est pas égal à mais est équivalent à 2sqrt(2)-2

Posté par
Ulmiere
re : Equivalent 29-12-19 à 15:30

2sqrt(n)(sqrt(2)-1)

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 15:32

Oui j'ai fait une erreur c'est une limite à la place du égal.

Posté par
Jezebeth
re : Equivalent 29-12-19 à 15:33

Ramanujan @ 29-12-2019 à 15:32

Oui j'ai fait une erreur c'est une limite à la place du égal.


toujours pas

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 15:40

S=\dfrac{1}{\sqrt{n}}  \sum_{j=1}^{n}  \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}}

D'où S=\sqrt{n} \dfrac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}  \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}}

Or \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}  \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}}  = 2 (\sqrt{2}-1)  

Ainsi par produit d'équivalents S \sim 2 \sqrt{n} (\sqrt{2}-1)

Posté par
Jezebeth
re : Equivalent 29-12-19 à 15:41

Ramanujan @ 29-12-2019 à 15:23

Ok merci je trouve donc S=2 \sqrt{n} (\sqrt{2}-1) .


Ne me dis pas qu'ici c'est une limite

Posté par
Ramanujan
re : Equivalent 29-12-19 à 15:43

Non un équivalent pas une limite !

Une limite qui dépend de n ça serait inquiétant.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !