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équivalent d'intégrale

Posté par
parc64 30-08-08 à 19:49

Bonjour,

je dois trouver un equivalent de integrale(dx/((x+1)(x+2)...(x+n)),x=0..+inf) quand n tend vers l'infini.

J'ai fait une D.E.S puis j'intègre et je me retrouve avec une somme de ln et des rapports de factorielles faisant penser au coeffs du binome. Mais je ne sais pas comment trouver l'équivalent...

Merci d'avance.

Posté par
Fradelre : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 10:16

Bonjour,

Après avoir montré que cette intégrale existe pour n2 , on peut montrer, si je ne me trompe pas, que
    un+1-un+un-1=0
en nommant un ton intégrale.

A vérifier.

On tombe alors sur un problème classique

Posté par
JJare : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 12:26

Bonjour,

je doute que la relation indiquée par Fradet soit correcte.
J'avais essayé par ce genre de méthode, mais sans succès. Bien entendu, j'ai pu faire des erreurs...
Par une méthode plus compliquée, j'ai obtenu l'équivalent :
1/(ln(n)*(n!))
Mais la démonstration n'étant pas rigoureuse, je ne la recopie pas (d'autant plus que ce serait trop volumineux) et il est possible que ce résultat ne soit pas le bon.

Posté par
parc64re : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 12:34

Moi je pensais a un truc du genre (ln(n))/(n-1)! mais impossible de le montrer. Quand je fais la DES, je me retrouve avec une serie de k=1..n et le terme general de la serie depend encore de n
(j'ai (n-k)!) donc je ne sais pas comment faire...

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 12:50

Bonjour à tous

Fradel >

En ce qui me concerne, j'ai l'impression qu'il y a un hic. je me suis peut-être également trompé mais il me semble que ton truc ne fait pas 0 mais plutôt :

\Large{\Bigint_{0}^{+\infty}\frac{(x+n)^2}{(x+1)(x+2)...(x+n+1)}\quad dx}


une intégrale qui n'est pas du tout nulle (étant donné que l'on intègre une fonction strictement positive).

De plus, cette relation de récurrence impliquerait un comportement similaire à une suite géométrique. Pour ma part, en faisant quelques manipulations, je trouve un comportement plus brutal : j'arrive à coincer cette suite entre \Large{\frac{1}{(n+1)!n}} et \Large{\frac{1}{n!n}} ce qui ne me permet pas de conclure.
Bon, je donne quand même ma marche à suivre non aboutie: peut-être que ça pourra donner une idée à quelqu'un.

J'ai commencé par faire la même chose que parc64 : une DES.

Je me retrouve donc avec l'égalité suivante :

\Large{\frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)}=\frac{1}{(n-1)!}\Bigsum_{k=0}^{n-1}\(n-1\\ k\)\frac{(-1)^k}{x+k+1}}


Tout comme parc64, cette formulation ne m'a pas inspiré, alors j'ai décidé d'écrire cette somme sous une autre forme.

Je fixe x > 0 et, je considère la fonction f définie pour tout t positif par :

\Large{f(t)=\frac{1}{(n-1)!}\Bigsum_{k=0}^{n-1}\(n-1\\ k\)\frac{(-1)^kt^{x+k+1}}{x+k+1}}

f est clairement de classe C1. De plus, on arrive à calculer sa dérivée explicitement grâce au binôme de Newton (pour des raisons de définition, on prendra n supérieur à 2. En même temps, on peut supposer n aussi grand que l'on veut étant donné que l'on veut étudier le comportement en l'infini) :

\Large{f'(t)=\frac{1}{(n-1)!}\Bigsum_{k=0}^{n-1}\(n-1\\ k\)(-1)^kt^{x+k}=\frac{1}{(n-1)!}t^x(1-t)^{n-1}}

De plus, f(0)=0. On en déduit que :

\Large{\frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)}=f(1)-f(0)=\Bigint_{0}^{1}f'(t)dt=\frac{1}{(n-1)!}\Bigint_{0}^{1}t^x(1-t)^{n-1}\quad dt}


Ainsi, en reprenant les notations de Fradel, on a :

\Large{u_n=\Bigint_{0}^{+\infty}\Bigint_{0}^{1}t^x(1-t)^{n-1}\quad dt \quad dx}

Ensuite, on Fubinise le tout : on a le droit car c'est déjà positif et que le fait d'intégrer par rapport à t puis par rapport à x donne quelque chose de fini (il suffit de faire le chemin inverse). Ainsi, on a :

\Large{u_n=\Bigint_{0}^{1}(1-t)^{n-1}\Bigint_{0}^{+\infty}t^x\quad dx \quad dt}


or pour tout t dans ]0,1[, on a \Large{\Bigint_{0}^{+\infty}t^x\quad dx=\frac{-1}{\ln(t)}} (passer par l'exponentielle).


d'où le résultat :

\Large{u_n=\frac{-1}{(n-1)!}\Bigint_{0}^{1}\frac{(1-t)^{n-1}}{\ln(t)} \quad dt=\frac{-1}{(n-1)!}\Bigint_{0}^{1}\frac{t^{n-1}}{\ln(1-t)} \quad dt}

Mon encadrement donné plus haut s'obtient en utilisant les inégalités suivantes valable pour tout t de [0,1[ :


\Large{t\leq -\ln(1-t)\leq \frac{t}{1-t}}


Le tout est donc de trouver un équivalent de l'intégrale \Large{\Bigint_{0}^{1}\frac{(1-t)^{n-1}}{\ln(t)} \quad dt} qui me semble plus sympathique que la première mais pour l'instant, je ne trouve rien de concluant.

Si cette histoire inspire quelqu'un, je serai content de connaître le fin mot de l'histoire ...


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 12:51

bon, il s'en est passé des choses pendant que je rédigeais, on dirait !!
Bonjour JJa !!

Kaiser

Posté par
parc64re : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 12:57

Moi je pensais me rapprocher de la formule du binome puisque somme k=0..n-1 k parmis (n-1) mais sans succès. J'intègre direct la DES et je dis que ça fait zero en plus l'infini puisque lintégrale converge (si on regroupe tous les ln je pense obtenir un quotient de deux polynomes unitaires) et en 0 j'obtiens des ln(k) puis je bloque...

Posté par
parc64re : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 13:01

L'énoncé pose In= l'intégrale. Il faut peut etre chercher une relation de recurrence comme voulait Fradel...

Posté par
JJare : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 13:03

Bonjour kaiser,

je regarderai ton travail qui semble intéressant. Mais ce sera plutôt pour demain car je n'aurai pas le temps cet après-midi.
Au fait il peut être utile de savoir que l'intégrale est égale à la série finie suivante :
( il est possible que cela ait déjà été signalé : dans l'immédiat, je n'ai pas le temps de regarder en détail les messages précédents )

équivalent d\'intégrale

Posté par
parc64re : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 13:04

Oui j'ai trouvé ce résultat. Mais je n'arrive pas a continuer.

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 13:55

OK, JJa ! à plus tard.

J'essaie de réfléchir avec cette formule, mais pour l'instant, je ne suis toujours pas inspiré.

Kaiser

Posté par
parc64re : équivalent d'intégrale 31-08-08 à 19:38

Help plzz !

Posté par
JJare : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 13:58

Bonjour parc64,

on a bien vu que tu cries help avec insistance. Mais encore faut-il qu'il y ai des personnes qui aient suffisamment de temps pour répondre...
Ceci dit, j'en reste à ce que j'avais fait hier matin et que je viens de re-vérifier.
Les étapes essentielles du calcul sont indiquées en page jointe.
Je suis bien conscient que la méthode utilisée, qui demande pas mal de pré-acquis et de connaissances de certaines fonctions spéciales, ne satisfera pas tout le monde. Mais, actuellement, c'est tout ce que j'ai dans ma besace.



équivalent d\'intégrale

équivalent d\'intégrale

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 15:58

Bonjour à tous

JJa > Bien vu le coup de découper l'intégrale en 2 (j'avais aussi essayer d'utiliser l'équivalent de \Large{(x+1)_n} mais je tombais sur quelque chose de pas intégrable, ce qui m'embêtait un peu).

Sinon, en ce qui me concerne ta solution me paraît correcte et abordable au niveau spé. Les résultats que tu utilises sur la fonction gamma sont démontrables à ce niveau.
Juste une petite précision : lorsque tu développes la fonction Gamma, on peut peut-être s'affranchir du résultat remarquable que \Large{\Gamma'(1)=-\gamma} car on ne s'en sert pas dans la suite (dès que l'on sait que la fonction Gamma est dérivable, on peut dire que c'est une innocente constante c, même si ce n'est pas vrai !! ). Ceci dit, il n'est pas du tout inutile de connaître ce résultat.

Autre chose : le passage à l'équivalent sous l'intégrale. Honnêtement, je n'arrive pas encore à le démontrer (même si moralement, on sait que c'est bon !!)

Une dernière chose, je vais apporter ma pierre à l'édifice en démontrant l'équivalent de ce que tu appelles les polynômes de Pocchammer :

Pour cela, je reprends une égalité de mon premier message, à savoir :

\Large{\frac{1}{(x+1)_n}=\frac{1}{(n-1)!}\Bigint_{0}^{1}t^x(1-t)^{n-1}dt}

on effectue alors le changement de variable u=nt.

\Large{\frac{1}{(x+1)_n}=\frac{1}{ n!n^x}\Bigint_{0}^{n}u^x(1-\frac{u}{n})^{n-1} \quad du}

On fixe x et on considère la suite de fonctions définie par :

\Large{f_n(u)=\{u^x(1-\frac{u}{n})^{n-1} \textrm{ si }0\leq u < n \\ 0\textrm{ sinon}}

Du coup, on a l'égalité :

\Large{\frac{1}{(x+1)_n}=\frac{1}{n!n^x}\Bigint_{0}^{+\infty}f_n(u)\quad du}


On utilise ensuite l'inégalité \Large{1-t\leq e^{-t}} valable pour tout pour montrer que :

\Large{0\leq f_n(u)\leq u^x e^{-\frac{n-1}{n}u}\leq u^xe^{-\frac{u}{2}}}

on peut alors utiliser le théorème de convergence dominée pour obtenir le résultat donné par JJa.

\Large{\frac{1}{(x+1)_n} \sim \frac{1}{n!n^x}\Bigint_{0}^{+\infty}u^x e^{-u}\quad du=\frac{\Gamma(x+1)}{n!n^x}}


Kaiser

Posté par
JJare : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 17:49

Bonjour kaiser,

ta contribution sera très utile pour finaliser la démonstration et la ramener à un niveau spé.
J'avais une autre piste que tu pourrais peut-être regarder (sans vouloir te commander! ). Je suis plutôt en surbooking par les temps qui courent.
L'égalité entre les deux intégrales suivantes est prouvée, sûre et certaine ! Et partir de celle de droite semble prometteur...

équivalent d\'intégrale

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 18:22

OK, j'essaie quand même de reprendre cette piste, que j'avais laissée de côté hier.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 20:03

Bonjour Kaiser

Si j'ai bien suivit, tu as démontré la formule de Gauss :

\Large{\Gamma(x) = \lim_{n\to +\infty} \frac{n!n^x}{\prod_{k=0}^n (k+x)}

Je me trompe ? ( beau topic, je vais essayer de le lire du début :D )

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 20:08

Salut Romain

Citation :
Si j'ai bien suivit, tu as démontré la formule de Gauss


toutafé !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 20:10

Belle démonstration en tous cas

J'avais toujours admis cette formule, maintenant, je connais la démo

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 20:15

mais je t'en prie !

Pour démontrer cette formule, on peut aussi partir de l'autre sens (i.e directement à partir de la définition de Gamma) et montrer que \Large{\Gamma(x)=\lim_{n\to +\infty}\Bigint_{0}^{n}t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^n\quad dt} (encore par convergence dominée). Pour finir, il suffit de calculer cette dernière intégrale en effectuant d'abord un changement de variable (u=t/n) puis des IPP successives (en dérivant le polynôme).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 01-09-08 à 22:40

Pour revenir à la question initiale de ce topic et, plus précisément à l'autre piste, je pense avoir trouvé.

Nous devons donc montrer que \Large{-\bigint_{0}^{1}\frac{(1-t)^{n-1}}{\ln(t)}\quad dt\sim \frac{1}{n\ln(n)}}.
De manière équivalente (comme je n'aime pas trop les n-1 ), ça revient à montrer que \Large{-\bigint_{0}^{1}\frac{(1-t)^{n+1}}{\ln(t)}\quad dt\sim \frac{1}{n\ln(n)}} (vous verrez pourquoi n+1).

Notons \Large{J_n} cette dernière intégrale.

\Large{J_n=\frac{1}{n}\Bigint_{0}^{n}\frac{(1-\frac{u}{n})}{\ln(n)-\ln(u)}(1-\frac{u}{n})^n\quad du=\frac{1}{n^2}\Bigint_{0}^{n}\frac{(n-u)}{\ln(n)-\ln(u)}(1-\frac{u}{n})^n\quad du}

L'idée est de passer l'équivalence sous l'intégrale et espérer que ça marche !!
Bref, on va essayer de montrer que c'est équivalent à \Large{\frac{1}{n\ln(n)}\Bigint_{0}^{n}(1-\frac{u}{n})^{n+1}\quad du}.
Notons \Large{K_n} cette dernière expression.

Par définition de l'équivalence, on va montrer que \Large{n\ln(n)(J_n-K_n)} tend vers 0 ce qui prouvera ce que l'on veut.

Ensuite, tous calculs faits, on a :

\Large{n\ln(n)(J_n-K_n)=\frac{1}{n}\Bigint_{0}^{n}\frac{n-u}{\ln(n)-\ln(u)}\ln(u)(1-\frac{u}{n})\quad du}


Posons \Large{g_n(u)=\{\frac{1}{n}\frac{n-u}{\ln(n)-\ln(u)}\ln(u)(1-\frac{u}{n})^n \textrm{ si }0 < u < n\\ 0 \textrm{ sinon }}

Il est facile de voir que cette suite de fonction converge vers la fonction nulle sur \Large{]0,+\infty[}.

Par ailleurs, grâce à l'inégalité des accroissements finis, on a :

\Large{n-u=e^{\ln(n)}-e^{\ln(u)}\leq (\ln(n)-\ln(u))\exp(\ln(n))=n(\ln(n)-\ln(u))}.

Ainsi, on a \Large{0\leq g_n(u)\leq e^{-u}} donc d'après le théorème de convergence dominée, l'intégrale tend vers 0.

Ensuite, comment on termine : il suffit de voir que \Large{K_n\sim \frac{1}{n\ln(n)}} ce qui est simple vu que l'on montre comme plus haut que \Large{\Bigint_{0}^{n}(1-\frac{u}{n})^{n+1}\quad du} tend vers l'intégrale \Large{\Bigint_{0}^{+\infty}e^{-u}\quad du} (encore convergence dominée). Cette dernière valant 1, on a gagné et tout le monde est content !!!

Kaiser

Posté par
JJare : équivalent d'intégrale 02-09-08 à 07:47

Bravo kaiser,
j'espère aussi qu'avec cela tout le monde est contant !

Posté par
JJare : équivalent d'intégrale 02-09-08 à 07:48

Contant ??? Je voulais dire "content".

Posté par
Fradelre : équivalent d'intégrale 02-09-08 à 09:00

Bonjour

Deux jours absent et un foisonnement d'idées et de méthodes. Bravo Kaiser, bravo JJa pour tout ce travail ; c'est vrai, ma formule était fausse et le problème était loin d'être un banal exercice de base sur les équivalents. Je n'ai pas fini de tout lire et je crois que j'en aurai encore pour un petit moment

Posté par
lyonnaisre : équivalent d'intégrale 02-09-08 à 11:12

Superbe Kaiser et parfaitement correct

J'ai tout compris pour ma part (et merci pour les 2 démos de ce que j'appelle la formule de Gauss)

A bientôt

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d'intégrale 02-09-08 à 11:31

Bonjour et merci à tous.

Merci aussi d'avoir vérifié la démo. J'avais peur d'avoir fait une boulette et que vous ne preniez ma démo pour argent content ! (content ??? je voulais dire "comptant". )

Kaiser


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