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Equivalent d'une série de fonctions

Posté par
Jean1418 07-01-23 à 18:59

Bonjour,
Avec f(x)=\sum_{n=1}^{+ \infty} \ln(1+x^n) définie et continue sur ]-1,1[ , je souhaite montrer que f(x) \sim_{1^{-}} \frac{I}{1-x} où I=\int_{0}^{+ \infty} \ln(1+e^-u)du
Je ne vois pas trop comment obtenir cela. Une idée ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equivalent d'une série de fonctions 07-01-23 à 20:58

Bonjour Jean1418

Autrement dit tu souhaites montrer que \Large\boxed{\lim_{x\to1^-}(1-x)f(x)=\frac{\pi^2}{12}}


Une idée :

\boxed{1} Tu peux commencer par montrer que \Large\boxed{\forall x\in]-1,1[~,~f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\frac{x^k}{1-x^k}}

(il te faudra justifier une interversion de deux sommes infinies)


\boxed{2} Montre ensuite que \Large\boxed{\lim_{x\to1^-}(1-x)f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}}

(il te faudra justifier une interversion d'une somme infinie et d'une limite)


il me semble que les théorèmes généraux du cours de spé peuvent t'aider dans cette tâche sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Jean1418re : Equivalent d'une série de fonctions 07-01-23 à 21:25

Ok, j'ai l'impression que ça fonctionne. Merci !


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