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Equivalent d'une suite

Posté par
infophile 14-02-08 à 15:21

Bonjour

Un peu à la bourre en cette veille de vacances, je sollicite votre aide.

Je dois faire le premier problème de ce lien : ***

J'ai pas mal avancé mais je bloque à la question 4.b et à la 5.a j'ai un "1" qui traine, je poste ma démo dans le message suivant.

Merci

édit Océane

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 15:39

Je suis stupide 1 est négligeable devant (vn) donc pas de problème pour la 5.a.

Donc juste un coup de main pour la 4.b, merci

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 16:14

Pour récapituler je bloque sur les questions 4.c , 5.b et 5.c !

J'ai réussi la 4.b c'est bon

Posté par
1 Schumi 1re : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 16:39

Salut vieux,

T'as jamais lu la FAQ? Il faut mettre l'énoncé en entier sur le forum. C'est une question de respect pour ceux qui te lisent. Non mais...

Comme ça, je suis vengé de la fois dernière...

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 16:44



Bien fait pour moi

Si toutefois tu avais une idée pour les questions où je sèche...

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 17:23

Up

Posté par
1 Schumi 1re : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 18:07

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 20:06

un up pour la soirée

Posté par
gui_toure : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 20:10

Citation :
PREMIER PROBLEME

Le but du problème est de déterminer un équivalent de la suite définie par :

3$\forall n\in\mathbb{N},\;u_n(\alpha)=\fra{1}{\(C_{2n}^n\)^{\alpha}}\[\Bigsum_{k=0}^{2n}\(C_{2n}^n\)^{\alpha}\]  où 3$\rm \alpha > 0

On rappelle que : 3$ \Bigint_0^{+\infty} e^{-x^2}dx=\fra{\sqrt{\pi}}{2}.  (Gauss )

On pose. 3$\forall n\in\mathbb{N}^*,\;v_n(\alpha)=\Bigsum_{k=1}^n e^{-\alpha\fra{k^2}{n

Dans tout le problème, r est un réel tel que 3$\rm \fra{1}{2} < r < 1.

4$\fbox{\fbox{4a. Soit 3$t\in[0,1[. Etablir que : 3$\forall x\in[0,1t],
(1)                           3$2x\le\ln(1+x)-\ln(1-x)\le\fra{2x}{1-t^2}

(2)                           3$x-\fra{x^2}{2}\le\ln(1+x)\le x

4$\fbox{\fbox{4b. En déduite que : 3$[p_n(k)]^{\alpha}\,e^{\alpha\fra{k^2}{n}}\le e^{\alpha\fra{k^2}{2n^2}}

4$\fbox{\fbox{4c. Montrer que, en utilisant le b.,

3$\Bigsum_{n^r<k\le n} [p_n(k)]^{\alpha} est négligeable devant 3$v_n(\alpha) quand 3$n\longrightarrow +\infty.

4$\fbox{\fbox{5a. Montrer que l'on a :

3$ u_n(\alpha)-2.v_n(\alpha)=2\,\Bigsum_{1\le k\le n^r}\,e^{-\alpha\fra{k^2}{n}}\([p_n(k)]^{\alpha}.e^{\alpha\fra{k^2}{n}}-1\)+o(v_n(\alpha)) où 3$o(v_n(\alpha)) est une suite négligeable devant 3$v_n(\alpha) quand 3$n\longrightarrow +\infty.

4$\fbox{\fbox{5b. En utilisant (1) et (2) (?? ^^), établir l'inégalité suivante :

3$\forall k\in[1,n^r]\cap\mathbb{N},\;[p_n(k)]^{\alpha}e^{\alpha\fra{k^2}{n}}\ge\exp\(-\fra{\alpha}{n^{3-4r}(1-n^{2r-2})}

4$\fbox{\fbox{5c. En choisissant r convenablement, en déduire que :

3$ 2\Bigsum_{1\le k\le n^r} \(e^{-\alpha\fra{k^2}{n}}\[(p_n(k))^{\alpha}e^{-\alpha\fra{k^2}{n}}-1\]\) est négligeable devant 3$v_n(\alpha) quand 3$n\longrightarrow +\infty.

4$\fbox{\fbox{5d. En déduire finalement que 3$\fbox{u_n(\alpha)\sim_{n\to+\infty} \sqrt{\fra{n\pi}{\alpha}}

4$\fbox{\fbox{5e. Cas particulier : Donner un équivalent de 3$\rm C_{2n}^n.

Posté par
gui_toure : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 20:32

C'est mon cadeau de St Valentin

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 20:38

eehhh ben

Posté par
gui_toure : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 20:42

Jaloux ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equivalent d'une suite 14-02-08 à 21:10

;hypocrite:

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 11:14

Oh t'es trop choux

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 14:15

Personne ? Je sors le drapeau blanc ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 14:26

Salut Kev ... l'expression de P_n(k)?

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 14:29

Salut momo

Elle est dans le lien

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 14:34

On devrait pouvoir s'en sortir avec la 2.a et l'expression de (vn) en montrant que le quotient tend vers 0 (on se sert de la 4.b) mais j'arrive pas mettre les bouts ensembles...

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 14:44

Ok pas d'exceptions à la règle

3$ \rm p_n(k)=\frac{\Bigprod_{j=1}^{k-1}\(1-\frac{j}{n}\)}{\Bigprod_{j=1}^{k}\(1+\frac{j}{n}\)}

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 14:50

Citation :
T'as jamais lu la FAQ? Il faut mettre l'énoncé en entier sur le forum. C'est une question de respect pour ceux qui te lisent. Non mais...


Si j'avais recopié l'énoncé en entier personne ne se serait donné la peine de tout lire

En plus de ça avec le temps que je passe sur l' je pense qu'on sait maintenant que je ne suis pas du genre à balancer un lien avec un exo et dire "faite le moi"...

M'enfin la règle c'est la règle...

Posté par
gui_toure : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 18:36

On rigole kév

Posté par
infophilere : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 18:38

Non je sais bien que vous rigolez, ma remarque c'était en rapport à l'edit

Posté par
gui_toure : Equivalent d'une suite 15-02-08 à 23:01

Personne ?


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