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équivalent d une suite

Posté par
Fractal 12-05-06 à 20:00

Bonjour, je dois trouver un équivalent simple de la suite suivante : \sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n]{n}.
Comment pourrais-je faire?
J'ai déjà essayé de passer à la forme exponentielle, de changer n en 1/n pour avoir à calculer un équivalent en 0 mais rien à faire, je n'arrive à rien.

Merci d'avance à ceux qui pourraient m'aider

Fractal

PS : La solution utilise normalement des développements limités.

Posté par
kaiser Moderateurre : équivalent d une suite 12-05-06 à 22:01

Bonsoir Fractal

C'est vrai que l'on peut utiliser les DL mais je propose l'utilisation du théorème des accroissements finis appliquée la fonction
\Large{x\mapsto x^{\frac{1}{x}}} sur l'intervalle [n,n+1].

Kaiser

Posté par
Fractalre : équivalent d une suite 13-05-06 à 10:42

D'accord, merci, mais le problème est que cet exercice fait partie de la leçon sur les DL et que je n'ai pas encore vu le théorème des accroissements finis.
Est-ce que vous pourriez m'expliquer comment on peut le faire avec les DL?

Merci beaucoup

Fractal

Posté par
disdrometrere : équivalent d une suite 13-05-06 à 10:46

bonjour,

quels DL connais-tu ?

connais-tu le DL de 1/(1-x)  au voisinage de 0 ?


K.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équivalent d une suite 13-05-06 à 14:19

Bonjour;
Notons u_n notre suite il est facile de voir que 3$\fbox{\forall n\ge1\\u_n=e^{\frac{ln(n+1)}{n+1}}-e^{\frac{ln(n)}{n}}} et vu que 2$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\frac{ln(n)}{n}=0} on peut utiliser le DL_2(0) au sens fort de la fonction \fbox{x\to e^x} à savoir 3$\fbox{e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)} on aboutit si je ne me suis pas trompé à u_n~\frac{ln(n)}{n^2}

Posté par
JJare : équivalent d une suite 13-05-06 à 17:18

Il me semble qu'il manque le signe - à l'équivalent obtenu par elhor_abdelali. En possant un peu plus loin, je trouve :


équivalent d une suite

Posté par
Fractalre : équivalent d une suite 13-05-06 à 18:10

D'accord, merci beaucoup .
Si j'ai bien compris cela donne :

u_n=\sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n]{n}=e^{\frac{ln(n+1)}{n+1}}-e^{\frac{ln(n)}{n}}
Puisque \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{ln(n)}{n}=0, on a e^{\frac{ln(n)}{n}}=1+\frac{ln(n)}{n}+o(\frac{ln(n)}{n}) et de même e^{\frac{ln(n+1)}{n+1}}=1+\frac{ln(n+1)}{n+1}+o(\frac{ln(n)}{n}).

u_n=1+\frac{ln(n+1)}{n+1}+o(\frac{ln(n)}{n})-(1+\frac{ln(n)}{n}+o(\frac{ln(n)}{n}))
u_n=\frac{ln(n+1)}{n+1}-\frac{ln(n)}{n}+o(\frac{ln(n)}{n})
u_n=\frac{nln(n+1)-(n+1)ln(n)}{n^2+n}+o(\frac{ln(n)}{n})
u_n=\frac{nln(\frac{n+1}{n})-ln(n)}{n^2+n}+o(\frac{ln(n)}{n})

Puisque \lim_{n\rightarrow+\infty}(nln(\frac{n+1}{n}))=1 et \lim_{n\rightarrow+\infty}-ln(n)=-\infty, on en déduit que nln(\frac{n+1}{n})=o(-ln(n)) donc nln(\frac{n+1}{n})-ln(n) \sim -ln(n). De plus, n^2+n \sim n^2.
On a donc finalement u_n \sim -\frac{ln(n)}{n^2}

Est-ce correct comme rédaction?

Fractal

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équivalent d une suite 13-05-06 à 23:44

(*)Effectivement JJa j'ai du négligé un signe - devant l'équivalent simple de u_n. Merci pour la réctification.
(*)Non Fractal,l'écriture \red\fbox{u_n=-\frac{ln(n)}{n^2}+o(\frac{ln(n)}{n})} est trés imprécise et ne donne aucune idée sur un équivalent de u_n car o(\frac{ln(n)}{n}) n'est pas un petit o de \frac{ln(n)}{n^2} c'est d'ailleurs pour cette raison qu'il faut utiliser comme je l'ai dis un DL_2(0) au sens fort de x\to e^x tu écriras alors:
2$\fbox{e^{\frac{ln(n+1)}{n+1}}=1+\frac{ln(n+1)}{n+1}+\frac{ln^2(n+1)}{2(n+1)^2}+O(\frac{ln^3(n+1)}{(n+1)^3})\\e^{\frac{ln(n)}{n}}=1+\frac{ln(n)}{n}+\frac{ln^2(n)}{2n^2}+O(\frac{ln^3(n)}{n^3})} avant de faire la différence remarquons que \frac{ln^3(n+1)}{(n+1)^3} ~ \frac{ln^3(n)}{n^3} (facile à prouver) et donc que \fbox{O(\frac{ln^3(n+1)}{(n+1)^3})=O(\frac{ln^3(n)}{n^3})} on obtient alors:
3$\fbox{u_n=(\underb{\frac{ln(n+1)}{n+1}-\frac{ln(n)}{n}}_{3$v_n})(\underb{1+\frac{ln(n+1)}{2(n+1)}+\frac{ln(n)}{2n}}_{3$w_n})+O(\frac{ln^3(n)}{n^3})} puis tu developpes v_n comme ceci:
\fbox{v_n=\frac{ln(n(1+\frac{1}{n}))}{n+1} -\frac{ln(n)}{n}=\frac{ln(n)+ln(1+\frac{1}{n})}{n+1}-\frac{ln(n)}{n}=-\frac{ln(n)}{n(n+1)}+\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{n+1}=-\frac{ln(n)}{n(n+1)}+\frac{\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2})}{n+1}= -\frac{ln(n)}{n^2}+o(\frac{ln(n)}{n^2})}
\fbox{2w_n=\frac{ln(n(1+\frac{1}{n}))}{n+1}+\frac{ln(n)}{n}=\frac{ln(n)+ln(1+\frac{1}{n})}{n+1}+\frac{ln(n)}{n}=\frac{(2n+1)ln(n)}{n(n+1)}+\frac{\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2})}{n+1}=2\frac{ln(n)}{n}+O(\frac{ln(n)}{n^2})} ce qui te donne:
3$\fbox{u_n=(-\frac{ln(n)}{n^2}+o(\frac{ln(n)}{n^2}))(1+\frac{ln(n)}{n}+O(\frac{ln(n)}{n^2}))+O(\frac{ln^3(n)}{n^3})=-\frac{ln(n)}{n^2}+o(\frac{ln(n)}{n^2})}


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