Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

équivalent d'une suite

Posté par Profil saljer 21-01-22 à 10:43

Bonjour les amis
sil vous plait aider moi à résoudre cet exercice
soit (u_n) une suite de reels definie par u_0\in\mathbb{R*+} et \forall\ n\in\mathbb{N*} \ u_{n+1}=u_n+u_n^2

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 10:49

excuser moi je termine l 'énonce car j ai volu cliquer sur apercu et j ai cliqué sur envoyer .
on suppose u_0>0 démontrer que la suite v_n définie parv_n=\frac{ln(u_n)}{2^n} est convergente
j ai étudié cette suite et j'ai trouvé que lorsque n\rightarrow +\infty\ u_n \rightarrow +\infty

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 12:22

est ce que  ln (u_n ) est negligable devant 2^n à l infin

Posté par
Razesre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 14:08

Bonjour,

D'après ce que tu as, on peut ecrire: u_n=e^{2^nv_n}

Posté par
Razesre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 14:11

Si tu remplaçait (u_n) dans l'équation par (v_n)

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 16:47

Ça donne
e^{2^{n+1}v_{n+1}}=e^{2^nv_n}+e^{2^{n+1}[v_n}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 19:36

Bonjour saljer

Soit la suite de réels \normalsize (u_n) définie par \Large \boxed{\left\lbrace\begin{array}l u_0>0 \\\\ \forall n\in\mathbb N~,~ u_{n+1}=u_n+u_n^2\end{array}}.

Alors :

\boxed{*} tu peux d'abord montrer que \normalsize (u_n) est croissante (et même strictement).

\boxed{*} ensuite tu montres que \large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(u_{n+1}\right)-\frac{1}{2^n}\ln\left(u_n\right)=\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\frac{1}{u_n}\right)}

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 20:19

merci M.Abdelali
Voila ce que j ai obtenu tous calculs faits
v_{n}-v_0\sim\sum_{1}^{n}{\frac{1}{2^nu_n}
le probleme c est de demontrer que la suite de droite est convergente

Posté par
lafol Moderateurre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 22:30

Bonsoir
si (u_n) est croissante, elle est majorée par son premier terme, et donc son inverse est ....

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 22:59

Merci infiniment M. Lafol

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 09:40

permetter moi d'ajouter cette question s il vous plait

2/soit   la limite dev_n définie ci haut
demontrer que
n

Ln(u_n)<2^n\lambda<Ln(1+u_n)

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 12:15

S il vous plaît est ce que quelqu'un a une idée

Posté par
Foxdevilre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 13:01

Bonjour saljer,

En divisant par 2^n, montre que v_n est strictement croissante (l'indication d'elhor_abdelali va t'être utile).

De même, montre que le terme à droite est celui d'une suite strictement décroissante, en utilisant le même genre de manipulations.

Enfin montre que la droite converge aussi vers \lambda.

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 14:57

Merci Foxdevil
Un peu plus d éclaircissements s'il te plait

Posté par
Foxdevilre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 16:04

Si une suite est strictement croissante et convergente, alors sa limite est strictement supérieure à chaque terme de la suite.

Si une suite est strictement décroissante et convergente, alors sa limite est strictement inférieure à chaque terme de la suite.

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 23-01-22 à 11:00

merci beaucoup Foxdevil

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équivalent d'une suite 25-01-22 à 23:18

Pour conclure

\large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(u_{n+1}\right)-\frac{1}{2^n}\ln\left(u_n\right)=\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\frac{1}{u_n}\right)}

en sommant l'égalité de l'encadré ci-dessus entre n et +\infty on a,

\large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~0\leqslant\lambda-\frac{\ln(u_n)}{2^n}\leqslant\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\ln\left(1+\frac{1}{u_k}\right)\leqslant\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{u_k2^{k+1}}\leqslant\frac{1}{u_n}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{u_n2^n}}

ce qui s'écrit aussi, \large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~0\leqslant2^n(\lambda-v_n)\leqslant\frac{1}{u_n}} et donc \Large \boxed{\lim~2^n(\lambda-v_n)=0}

ou encore \Large \boxed{\lim~e^{2^n(\lambda-v_n)}=1} c'est à dire \Large \boxed{\textcolor{blue}{u_n\sim e^{2^n\lambda}}} sauf erreur de ma part bien entendu


Rechercher
Menu
Espace membre
10 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !