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équivalent d'une suite

Posté par Profil saljer 21-01-22 à 10:43

Bonjour les amis
sil vous plait aider moi à résoudre cet exercice
soit (u_n) une suite de reels definie par u_0\in\mathbb{R*+} et \forall\ n\in\mathbb{N*} \ u_{n+1}=u_n+u_n^2

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 10:49

excuser moi je termine l 'énonce car j ai volu cliquer sur apercu et j ai cliqué sur envoyer .
on suppose u_0>0 démontrer que la suite v_n définie parv_n=\frac{ln(u_n)}{2^n} est convergente
j ai étudié cette suite et j'ai trouvé que lorsque n\rightarrow +\infty\ u_n \rightarrow +\infty

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 12:22

est ce que  ln (u_n ) est negligable devant 2^n à l infin

Posté par
Razesre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 14:08

Bonjour,

D'après ce que tu as, on peut ecrire: u_n=e^{2^nv_n}

Posté par
Razesre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 14:11

Si tu remplaçait (u_n) dans l'équation par (v_n)

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 16:47

Ça donne
e^{2^{n+1}v_{n+1}}=e^{2^nv_n}+e^{2^{n+1}[v_n}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 19:36

Bonjour saljer

Soit la suite de réels \normalsize (u_n) définie par \Large \boxed{\left\lbrace\begin{array}l u_0>0 \\\\ \forall n\in\mathbb N~,~ u_{n+1}=u_n+u_n^2\end{array}}.

Alors :

\boxed{*} tu peux d'abord montrer que \normalsize (u_n) est croissante (et même strictement).

\boxed{*} ensuite tu montres que \large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(u_{n+1}\right)-\frac{1}{2^n}\ln\left(u_n\right)=\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\frac{1}{u_n}\right)}

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 20:19

merci M.Abdelali
Voila ce que j ai obtenu tous calculs faits
v_{n}-v_0\sim\sum_{1}^{n}{\frac{1}{2^nu_n}
le probleme c est de demontrer que la suite de droite est convergente

Posté par
lafol Moderateurre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 22:30

Bonsoir
si (u_n) est croissante, elle est majorée par son premier terme, et donc son inverse est ....

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 21-01-22 à 22:59

Merci infiniment M. Lafol

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 09:40

permetter moi d'ajouter cette question s il vous plait

2/soit   la limite dev_n définie ci haut
demontrer que
n

Ln(u_n)<2^n\lambda<Ln(1+u_n)

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 12:15

S il vous plaît est ce que quelqu'un a une idée

Posté par
Foxdevilre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 13:01

Bonjour saljer,

En divisant par 2^n, montre que v_n est strictement croissante (l'indication d'elhor_abdelali va t'être utile).

De même, montre que le terme à droite est celui d'une suite strictement décroissante, en utilisant le même genre de manipulations.

Enfin montre que la droite converge aussi vers \lambda.

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 14:57

Merci Foxdevil
Un peu plus d éclaircissements s'il te plait

Posté par
Foxdevilre : équivalent d'une suite 22-01-22 à 16:04

Si une suite est strictement croissante et convergente, alors sa limite est strictement supérieure à chaque terme de la suite.

Si une suite est strictement décroissante et convergente, alors sa limite est strictement inférieure à chaque terme de la suite.

Posté par Profil saljerre : équivalent d'une suite 23-01-22 à 11:00

merci beaucoup Foxdevil

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équivalent d'une suite 25-01-22 à 23:18

Pour conclure

\large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(u_{n+1}\right)-\frac{1}{2^n}\ln\left(u_n\right)=\frac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\frac{1}{u_n}\right)}

en sommant l'égalité de l'encadré ci-dessus entre n et +\infty on a,

\large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~0\leqslant\lambda-\frac{\ln(u_n)}{2^n}\leqslant\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\ln\left(1+\frac{1}{u_k}\right)\leqslant\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{u_k2^{k+1}}\leqslant\frac{1}{u_n}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{u_n2^n}}

ce qui s'écrit aussi, \large \boxed{\forall n\in\mathbb N~,~0\leqslant2^n(\lambda-v_n)\leqslant\frac{1}{u_n}} et donc \Large \boxed{\lim~2^n(\lambda-v_n)=0}

ou encore \Large \boxed{\lim~e^{2^n(\lambda-v_n)}=1} c'est à dire \Large \boxed{\textcolor{blue}{u_n\sim e^{2^n\lambda}}} sauf erreur de ma part bien entendu


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