Bonjour à tous,
Voici le problème auquel je suis confronté :
On fixe n>=3.
Soit f_n : R + -> R une fonction tq f_n(x)= (x^n) * exp(-x) -1.
J'ai montré comme l'exercice l'exige que f(x)=0 admet deux solutions x_n et y_n, où y_n est dans [n; +oo[ .
L'objectif est de trouvé un équivalent de y_n.
Je suis parvenu à montré que y_n -> +oo.
Pourriez-vous m'éclairer ?
Je vous en remercie par avance,
Bien cordialement,
salut
Bonsoir,
Je vous remercie pour vos indications, mais je ne suis pas parvenu à encadrer y_n par le TVI...
J'ai aussi tenté de réalisé un DL de y_n mais n'ayant que la relation :
y_n^(n) * exp(-y_n)=1. Je ne vois pas comment procéder...
Veuillez-m'excuser pour mon insistance mais pourriez-vous me donner d'autres indications ?
Bonjour à tous,
Concernant le nombre de racine de , il faut distinguer les cas ou
est pair et impaire car la limite en
n'est pas le même. En fonction de la valeur de
le nombre de racines est
Généralement est utilisé pour les abscisses et
pour les ordonnées. Il est préférable de dire que nous cherchons
, tel que
Razes : en +oo je ne pense pas qu'il y ait à distinguer suivant la parité de n, on peut donc travailler sur [0, +oo[
Je propose la distinction des cas pair ou impair, seulement si on parle du nombre de racine 1, 2 ou 3. Car Flopito a avancé le fait que "
admet deux solutions", ce qui n'est pas toujours le cas.
Pour le développement de , nous n'avons pas besoin d'étudier ces cas.
Bonjour,
Le texte initial est pour le moins sujet à discussion.
L'énoncé précise : "Soit f_n : R + -> R ..."
donc x >= 0
Si n est dans N, le nombre de solutions est :
1 si n = 0
0 si n = 1
0 si n = 2
2 si n >= 3
Il n'y a donc pas "obligatoirement" 2 solutions comme indiqué.
et
Sauf si je me gourre, la plus grande des solutions est bien comprise dans ]n ; +oo[ si n >= 3
et l'énoncé précise aussi on fixe n 3
(ce qui est d'ailleurs mal dit ...)
on a qui est bien supérieur à 0 lorsque n > 2 (car n > e)
donc f(n) > 0
de plus par croissance comparée
donc le TVI assure une solution dans l'intervalle [n, +oo[ pour n > 2
1) @candide2; effectivement le nombre de solutions change en fonction de la parité de .
Pour
pair : 3 solutions
impair : 2 solutions
2) Pour déterminer l'équivalent; nous avons : ;
donc il faut étudier la convergence et la monotonie de la suite .
Et ceci connaissant le comportement de pour
, et on peut utiliser
Trouver un équivalent de . en fonction de
Il y a aussi une autre façon de faire en recourant à la fonction W de Lambert. Moyennant un changement de variable.
Bonsoir,
Je vois que cela n'a pas évolué.
La première étape à voir est de vérifier que la suite est croissante, nous avons plusieurs informations:
Utilise le fait que est décroissante sur l'intervalle
et utiliser la valeur de
Etant donné que et ceci pour
Donc: ; on peut écrire que
avec
suite qui permet d'affiner l'équivalent de
que nous injectons dans l'équation en
qui devient après simplification:
; avec
On peut donc poser : ; avec :
On continue avec la même méthode pour plus de précision, on trouvera;
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