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Niveau Maths sup
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Equivalent d'une suite

Posté par
Flopito
26-06-25 à 10:51

Bonjour à tous,

Voici le problème auquel je suis confronté :

On fixe n>=3.

Soit f_n : R + -> R une fonction tq f_n(x)= (x^n) * exp(-x) -1.

J'ai montré comme l'exercice l'exige que f(x)=0 admet deux solutions x_n et y_n, où y_n est dans [n; +oo[ .

L'objectif est de trouvé un équivalent de y_n.

Je suis parvenu à montré que y_n -> +oo.

Pourriez-vous m'éclairer ?

Je vous en remercie par avance,

Bien cordialement,

Posté par
carpediem
re : Equivalent d'une suite 26-06-25 à 16:11

salut

Flopito @ 26-06-2025 à 10:51

Je suis parvenu à montré que y_n -> +oo.
certes et c'est une évidence d'après l'énoncé ...

donc ce qu'il faudrait c'est encadrer plus finement yn ... par exemple avec le TVI ...

ou alors constater comme dans l'autre fil que y_n = x^n \left( 1 + \dfrac {e^{-x}} {x^n} - x^{-n} \right) ...

Posté par
Flopito
re : Equivalent d'une suite 26-06-25 à 23:39

Bonsoir,

Je vous remercie pour vos indications, mais je ne suis pas parvenu à encadrer y_n par le TVI...

J'ai aussi tenté de réalisé un DL de y_n mais n'ayant que la relation :
y_n^(n) * exp(-y_n)=1. Je ne vois pas comment procéder...

Veuillez-m'excuser pour mon insistance mais pourriez-vous me donner d'autres indications ?

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 11:11

Bonjour à tous,

Concernant le nombre de racine de f_n(x)=0, il faut distinguer les cas ou n est pair et impaire car la limite en -\infty n'est pas le même. En fonction de la valeur de n \in \mathbb{N} le nombre de racines est 0, 1, 2, 3, 2, 3, 2, ...

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 11:30

Généralement x est utilisé pour les abscisses et y pour les ordonnées. Il est préférable de dire que nous cherchons x_n\in [n ; +\infty [ , tel que f_n(x_n)=0

Posté par
carpediem
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 11:51

Razes : en +oo je ne pense pas qu'il y ait à distinguer suivant la parité de n, on peut donc travailler sur [0, +oo[

Flopito @ 26-06-2025 à 23:39

Je vous remercie pour vos indications, mais je ne suis pas parvenu à encadrer y_n par le TVI... ?
étonnant
l'étude des variations de f_n le permet pourtant avec un éventuel tâtonnement avec la calculatrice et en utilisant les notation de Razes plus pertinentes et avec l'énoncé on a n \le x_n.
il nous faut donc les variations précises de f_n sur [0, +oo[.

enfin j'ai évidemment fait une erreur dans la factorisation ...

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 12:39

Je propose la distinction des cas n pair ou impair, seulement si on parle du nombre de racine 1, 2 ou 3. Car Flopito a avancé le fait que " f_n(x)=0 admet deux solutions", ce qui n'est pas toujours le cas.

Pour le développement de x_n\in [n,+\infty [ , nous n'avons pas besoin d'étudier ces cas.

Posté par
candide2
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 13:22

Bonjour,

Le texte initial est pour le moins sujet à discussion.

L'énoncé précise : "Soit f_n : R + -> R  ..."
donc x >= 0

Si n est dans N, le nombre de solutions est :

1 si n = 0
0 si n = 1
0 si n = 2
2 si n >= 3

Il n'y a donc pas "obligatoirement" 2 solutions comme indiqué.
et
Sauf si je me gourre, la plus grande des solutions est bien comprise dans ]n ; +oo[ si n >= 3

Posté par
carpediem
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 14:21

et l'énoncé précise aussi on fixe n 3

(ce qui est d'ailleurs mal dit ...)

on a  f(n) = n^n e^{-n} - 1 = \left( \dfrac n e \right)^n - 1 qui est bien supérieur à 0 lorsque n > 2 (car n > e)

donc f(n) > 0

de plus \lim_{x \to + \infty} f(x) = -1 par croissance comparée

donc le TVI assure une solution dans l'intervalle [n, +oo[ pour n > 2

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 18:10

1) @candide2; effectivement le nombre de solutions change en fonction de la parité de n.

Pour  n\geqslant 3

n pair : 3 solutions
n impair : 2 solutions

2) Pour déterminer l'équivalent; nous avons : f_n(x_n)=2\Leftrightarrow (x_n)^{n}e^{-x_n}-1=0\Leftrightarrow (x_n)^{n}-e^{x_n}=0 ;
donc il faut étudier la convergence et la monotonie de la suite (x_n).
Et ceci connaissant le comportement de f_n(x) pour  x\geqslant n, et on peut utiliser f_{n+1}(x_{n})

Trouver un équivalent de  (x_n). en fonction de n

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 18:15

Le terme n+1 vérifie aussi l'équation : f_{n+1}(x_{n+1} )=(x_{n+1} )^{n+1}e^{-x_{n+1}}-1

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 18:36

Désolé, il y avait une coquille dans message de 27-06-25 à 18:10; c'est f_n(x_n)=0

Posté par
candide2
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 19:43

Razes @ 27-06-2025 à 18:10

1) @candide2; effectivement le nombre de solutions change en fonction de la parité de n.

Pour  n\geqslant 3

n pair : 3 solutions
n impair : 2 solutions


2) Pour déterminer l'équivalent; nous avons : f_n(x_n)=2\Leftrightarrow (x_n)^{n}e^{-x_n}-1=0\Leftrightarrow (x_n)^{n}-e^{x_n}=0 ;
donc il faut étudier la convergence et la monotonie de la suite (x_n).
Et ceci connaissant le comportement de f_n(x) pour  x\geqslant n, et on peut utiliser f_{n+1}(x_{n})

Trouver un équivalent de  (x_n). en fonction de n


Bonjour,

Non ...
L'énoncé précise que x >= 0, les solutions négatives ne sont donc pas à prendre en considération.

Avec n >= 3, le nombre de solutions en respectant l'énoncé est 2 et ceci que n soit pair ou impair.

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 27-06-25 à 20:00

Bon, donc, c'est parfait

Posté par
perroquet
re : Equivalent d'une suite 28-06-25 à 03:03

Bonjour à tous.

J'utilise les notations de Flopito.
On a   y_n \sim n\ln n
Je peux le démontrer si vous le souhaitez.

Posté par
carpediem
re : Equivalent d'une suite 28-06-25 à 10:23

perroquet : j'aimerais bien !!

merci par avance

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 28-06-25 à 12:02

 (x_n)^{n}-e^{x_n}=0, puis on passe au logarithme: n\ln(x_n)=x_n\Leftrightarrow n=\dfrac{x_n}{\ln(x_n)}

On doit trouver : x_n\sim n\ln(n)+n\ln(\ln(n))

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 28-06-25 à 12:14

Il y a aussi une autre façon de faire en recourant à la fonction W de Lambert. Moyennant un changement de variable.

Posté par
Razes
re : Equivalent d'une suite 29-06-25 à 00:51

Bonsoir,

Je vois que cela n'a pas évolué.

La première étape à voir est de vérifier que la suite (x_n) est croissante, nous avons plusieurs informations:
f_n(x_n)=0
f_{n+1}(x_{n+1})=0

Utilise le fait que f_n est décroissante sur l'intervalle [n,+\infty[ et utiliser la valeur de f_n(x_{n+1})


(x_{n} )^{n}e^{-x_{n}}=1 \Leftrightarrow n\ln(x_n)=x_n\Leftrightarrow \ln(n)+ \ln(\ln(x_n))=\ln(x_n)

Etant donné que \ln(x_n) \gg \ln(\ln(x_n)) et ceci pour n\to +\infty

Donc: \ln(x_n)\sim \ln(n); on peut écrire que x_n=n\alpha _n avec  \alpha _n suite qui permet d'affiner l'équivalent de x_n que nous injectons dans l'équation en \ln qui devient après simplification:

\ln(n)+\ln(\ln(n\alpha _n))=\ln(n\alpha _n) \Leftrightarrow \ln(n)+\ln(\ln(n)+\ln(\alpha _n))=\ln(n)+\ln(\alpha _n)

\Leftrightarrow \ln\left(\ln(n)\left ( 1+\dfrac{\ln(\alpha_n)}{\ln(n)} \right ) \right )=\ln(\alpha_n) \Rightarrow \alpha_n \sim \ln(n); avec x_n\gg \alpha_n

On peut donc poser : \alpha_n=\ln(n)+\beta_n; avec : \alpha_n \gg \beta_n


x_n=n(\ln(n)+\beta_n)

On continue avec la même méthode pour plus de précision, on trouvera; \beta_n \sim \ln(\ln(n))

Posté par
perroquet
re : Equivalent d'une suite 29-06-25 à 01:26

Bonjour.

On peut simplifier la solution de Razes de la manière suivante. Une fois qu'on a montré que \ln(x_n) \sim \ln(n), on peut directement conclure que x_n\sim n \ln(n) puisque x_n=n\ln(x_n).

Pour obtenir le terme suivant du développement asymptotique, c'est assez rapide:

x_n = n\ln(x_n)=n\ln\big(n\ln(n)+o(n\ln(n)\big)

x_n=n \big( \ln(n\ln(n))+o(1)\big)=n\ln(n)+n\ln(\ln(n)) +o(n)



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