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Equivalent d'une suite stationnaire à 0?

Posté par
Fractal 04-10-07 à 12:32

Bonjour

3$(u_n) est une suite, définie par récurrence de façon assez complexe (nombre de nombres premiers parmi un certain ensemble) dont je souhaiterais démontrer qu'elle converge vers 0 (c'est à dire qu'elle est stationnaire à 0, étant donné qu'il s'agit d'une suite d'entiers).

Pour voir un peu ce qui se passe, en utilisant des équivalents de façon pas très rigoureuse, je montre que 3$u_n\sim\frac{u_0}{n!} en l'infini, ce qui montre bien qu'elle tend vers 0.
Seulement voilà, rigoureusement cela me semble complètement faux étant donné qu'une suite stationnaire à 0 ne peut être équivalente à aucune autre.

Y aurait-il un moyen de contourner cette difficulté (si possible en gardant l'idée de l'équivalent, je ne vois pas comment faire autrement sinon)?

Merci d'avance

Fractal

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 12:53

Salut Fractal,

en effet cet équivalent est impossible si ta suite est stationnaire.

Le mieux serait de poster ton énoncé pour qu'onpuisse trouver un truc rigoureux!

Posté par
Fractalre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 13:24

Salut Tigweg

Alors, (je ne sais même pas si le résultat énoncé est juste, mais je l'ai vérifié informatiquement pour b<=50, donc il semblerait bien l'être)

Citation :
Soit b un entier strictement supérieur à 2, et P l'ensemble des nombres premiers.

On pose 3$A_0=P\cap [[1,b-1]] et pour tout 3$n\in\mathbb{N}, 3$A_{n+1}=P\cap\{kb+k'|k\in A_n,k'\in[[0,b-1]]\}.
Et pour tout entier n, on pose 3$u_n=card(A_n)

Montrer que 3$u_n est stationnaire à 0 (ou que 3$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n est fini)

En gros, l'ensemble An est l'ensemble des nombres premiers dont l'écriture en base b est de n chiffres, et tels qu'en enlevant un nombre quelconque de ses chiffres à la fin, le nombre reste premier.
Par exemple pour b=10, 3739 appartient à A4 car il est premier et que 373, 37 et 3 le sont également.

Fractal

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 20:35

Ah oui en effet c'est pas facile facile!

Rassure-moi: ce n'est quand même pas un DM que tu dois rendre?

Je suis sûr que c'est toi qui a inventé l'énoncé, je te sais friand de ce genre de trucs!

D'où t'es venue l'intuition de l'équivalent que tu proposes?

Posté par
Fractalre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 20:51

Absolument, ce n'est pas un DM, ça vient en partie de moi

Pour trouver l'équivalent j'ai procédé ainsi :

Tous les éléments de An sont dans l'intervalle 3$[[b^n,b^{n+1}]].
Pour passer de An-1 à An on considère un sous ensemble 3$\{kb+k'|k\in%20A_{n-1},k'\in[[0,b-1]]\} inclus dans 3$[[b^n,b^{n+1}]] et de cardinal 3$bu_{n-1} dont on ne garde que les nombres premiers.
Or, dans l'intervalle 3$[[b^n,b^{n+1}]], pour n grand il y a environ 3$f(n)=\frac{b^n}{n}\times\frac{b-1}{ln(b)} nombres premiers (voir Répartition des nombres premiers à l'infini), ce qui donne environ pour le cardinal de An :
3$u_n\approx u_{n-1}\times\frac{f(n)}{b^{n+1}-b^n}=\frac{u_{n-1}}{n ln(b)}.

On en déduit donc que 3$\fbox{u_n\approx\frac{u_0}{n!\times ln^n(b)}} (pas tout à fait ce que j'avais dit, mais bon, ça revient au même).

Le problème est que j'utilise des approximations pas vraiment rigoureuses du tout, et je ne vois pas comment faire mieux.
Il faudrait utiliser des majorations, mais c'est pas facile avec des nombres premiers...

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 21:01

Bonsoir à tous les deux (désolé, je squatte ! )

Fractal > là voilà, l'erreur : tu ne peux pas faire un produit d'équivalent (qui dépend de l'entier n).

Voici un exemple frappant qui te dira que c'est faux.

on sait que \Large{1+\frac{1}{n}\sim 1}, donc \Large{(1+\frac{1}{n})^2\sim 1}, (jusque là, ça va) """"donc"""" (et la ça se gâte), on a \Large{(1+\frac{1}{n})^{n}\sim 1}

or le truc de gauche tend vers e.
Ainsi, on vient de prouver que e=1, donc e est un rationnel, même un entier, donc algébrique et tout le monde est content ! (sauf un certain Lindeman qui doit se retourner dans sa tombe)

Kaiser
P.S : bien sûr, je taquine !

Posté par
Ksilverre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 21:02

Pour essayer d'utiliser la meme méthode, tu peut le faire rigoureusement, mais en utilisant des versions un peu plus forte du th des nombres premier, notement celle du à dirichlet :


Si a et b sont deux nombre premier entre eux, le nombre de nombre premier de la forme a*k+b inférieur à n est équivalent a n/ln(n)*Phi(a))

ou Phi(a) est la fonction indicatrice d'euler, (Phi(a) = le nombre de nombre premier avec a inférieur à a...)

ce qui pourrait te permettre de formaliser ce que tu dit... mais ca ne suffira peut-etre pas, tu aura peut-etre bessoin d'avoir recours à des forme plus "rigide" du théorème (avec de vrai inégalité...).


j'essairai d'y réfléchir... (mais je manque un peu de temps la...)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 21:05

Salut Kaiser!

Citation :
Ainsi, on vient de prouver que e=1, donc e est un rationnel, même un entier, donc algébrique et tout le monde est content ! (sauf un certain Lindeman qui doit se retourner dans sa tombe)


> Je te verrais bien Jury d'Agreg, toi!
Oui oui je sais, faut d'abord que tu la passes!)

Posté par
Ksilverre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 21:05

à propo du message de kaiser , certe ce passage de la démo est fausse, mais en passant au log on peut obtenir qqch de tous a fait satisfaisant avec le th de somation des relation de comparaison.

le probleme viens plutot du "ce qui donne environ pour le cardinal de An" c'est pour ca que je conseil d'utiliser le th de dirichlet. bien sur, il faut le faire 'rigoureusement' )

Posté par
kaiser Moderateurre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 21:11

Tigweg > Effectivement !
Ksilver >

Salut

Citation :
à propo du message de kaiser , certe ce passage de la démo est fausse, mais en passant au log on peut obtenir qqch de tous a fait satisfaisant avec le th de somation des relation de comparaison.


On n'a même pas besoin du log dans ce cas (en supposant que cet équivalent est juste).
En effet, on a que \Large{\frac{u_n}{u_{n-1}}} qui tend vers 0 donc la suite tend vers 0 donc est stationnaire.

Kaiser

Posté par
Fractalre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 21:12

Kaiser -> Ah oui, en effet, si e=1 c'est embêtant
Bon, ben c'était pas si simple que ça alors...

Ksilver -> Je pense que j'aurai effectivement besoin de vraies inégalités à un moment, je vais essayer de chercher s'il existe des théorèmes qui pourraient être utiles.

Fractal

Posté par
Fractalre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 21:19

Mais est-ce que le théorème de Dirichlet peut être utile, étant donné qu'il s'agit d'un équivalent, mais que j'aurais plutôt besoin d'inégalités pour montrer que Un est stationnaire?

Fractal

Posté par
Ksilverre : Equivalent d'une suite stationnaire à 0? 04-10-07 à 23:15

apres plus de réfléxion et plusieur tentative infructueuse, je pense que ceci n'as rien à voir avec le th des nombres premier, Qualitativement :
l'éxistence d'une éventuelle telle suite peut ce faire avec seulement "tres peu" de nombres premier, l'argument que tu donne est plutot du genre "vu qu'il y a pas beaucoup de nombre premier, il eswt peu probable que ca existe" mais il y a largement assez de nombre premier quand meme, il en suffit d'un entre b^k et b^(k+1) bref a pein log(n) nb premier inférieur à n...


tous ca pour dire que je pense que c'est pas du tous la bonne piste quoi, et qu'il vaudrait mieux chercher une autre idée, enfin je peut me tromper bien sur...


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