Au voisinage de 0 je suppose.

Cela dépends jusqu'à quel ordre tu veux aller, tu peux juste calculer la limite de leur rapport pour savoir s'ils ont la même limite.

Sinon tu fais un développement limité de chaque expression et tu compare.

Bonsoir,
si c'est au voisinage de zéro on peut remarquer que

Merci pour vos réponses.
Oui au voisinage de 0.
Oui Verdurin, du coup un équivalent est x/6,
En réalité, ma question de base est de trouver la limite de 1/sin (x) - 1/x en 0. Je peux donc conclure que 1/sin (x) - 1/x tend vers 0 en 0.

Disons que si tu fournis une preuve de ta première assertion, ta conclusion est évidente.

D'accord.
J'ai donc déduit un prolongement par continuité de f(x)=1/sin (x) - 1/x, qui est appelé f tilda.
Les deux questions suivantes sont :
mq f tilda est dérivable en 0.
mq f tilda est de classe C1 sur [0;pi/2]
Le fait de montrer que f tilda est dérivable en 0 n'implique donc pas la classe C1 ?

f est de classe C sur ]0;/2[ par composition de fonctions C.
Comme

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Je continue :

Comme sur ]0;/2] elle est de classe C sur cet intervalle. Et est de classe C⁰ sur [0;/2] par définition.

Pour que soit de classe C¹ sur [0;/2] il faut montrer que est dérivable en 0 et que sa dérivée est continue en 0.

Bonjour
pour la question initiale, tu t'étais quand même compliqué la vie pour rien, non ?

alias

sinon, si I est un intervalle, on a les inclusions strictes suivantes :
dérivable n'entraîne pas continûment dérivable, non.

Bonjour verdurin !
Ton "il faut montrer" me paraît exagéré !
En effet il "suffit " (autre méthode) de montrer que   a une limite finie en 0.

Je bloque encore pour la limite finie de f' en 0... Je n'arrive pas à débloquer l'indétermination et trouver un équivalent ne me semble pas être la solution ici

Si tu auras :
.
Le dénominateur étant équivalent en 0 à tu te contentes d'un développement limité d'ordre 4 pour le numérateur soit:

Merci luzak !

Bonsoir luzak.
« Il faut montrer » est certainement maladroit, mais c'est quand même ce que montre ta méthode.
Une fonction est C¹ sur I  si et seulement si
    -- elle est dérivable sur I
    -- sa dérivée est continue sur I.

Bonjour !
Disons que je n'aime pas présenter "nécessaire" comme "unique méthode".
Pour la condition nécessaire et suffisante je suis bien d'accord !