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Niveau maths spé
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equivalent de ln(n!)

Posté par
Idefix
22-10-18 à 13:09

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver l'équivalent de ln(n!).
Je sais que ln(n!)= ln(k) pour k allant de 1 à n
Et j'ai trouvé que ln(n!)<= n(n+1)/2

Mais je ne trouve pas l'équivalent

Pouvez-vous m'aidez ?
Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
jsvdb
re : equivalent de ln(n!) 22-10-18 à 13:15

Bonjour Idefix.
Il y a un équivalent classique de n! donné par la formule de Stirling n! \sim \sqrt {2\pi n}(\frac{n}{e})^n.
Tu passes au logarithme...

Posté par
jsvdb
re : equivalent de ln(n!) 22-10-18 à 13:18

Ou encore  la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction ln entre 1 et n donne :

{\displaystyle \ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}\ln k=\int _{1}^{n}\ln x\;\mathrm {d} x+{\frac {\ln 1+\ln n}{2}}+O(1)=n\ln n-n+{\frac {\ln n}{2}}+O(1).}

Posté par
jsvdb
re : equivalent de ln(n!) 22-10-18 à 13:22

Et en même temps, rendons à César ce qui est à César et à Moivre ce qui est à Moivre :

lequel a initialement démontré la formule   {\displaystyle n\,!\sim C\;n^{n+{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {e} ^{-n}} où C est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling fut d'attribuer la valeur C =\sqrt{2\pi} à la constante et accessoirement donner un développement de ln(n!) à tout ordre, ce qui n'est pas mal non plus.



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