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Equivalent de stirling
Bonjour, je dois faire un dm sur les intégrales de Wallis et l'équivalent de Stirling. J'en suis a la partie sur l'équivalent de Stirling.
Tout d'abord, je vous donne le sujet :
On note sn = (n! * en) / (nn * 
n)
Puis : un = ln(sn)
Et dn = un+1 - un
1) Tout d'abord, il faut donner une expression en fonction de n de dn
Pour cela, j'ai trouvé comme expression :
dn = 1+ln(1+1/n) * 1/2 Est-ce correct ?
Puis, (donné dans l'ennoncé), on admet que :
x>0 :
0
(1+x/2)ln(1+x)-xx3/12
En déduire : l'encadrement
n
2
(1/12n) - (1/(12(n-1)))-1/12n2dn0
Et la je ne vois pas du tout comment faire, si vous pouviez me donner quelques indications,
Merci
Bonjour, pour commencer, je ne suis pas d'accord avec toi sur l'expression de en fonction de
!
Sauf erreur de ma part, on trouve
Pour la suite, en déduire une expression de , puis utiliser le résultat admis en posant
dans l'expression obtenue.
Oui c'est bien cela pour l'expression de dn, je me suis embrouillé lors de l'écriture du message
Ensuite, effectivement, merci j'ai réussi à en déduire l'inégalité.
Cependant, vient la suite :
Exprimer un en fonction de termes de la suite (dk)k
Montrer que (un)n converge, puis que s converge vers un réel strctement positif, que l'on notera C.
Si vous avez quelques indications sur comment faire ces 2 questions, Merci beaucoup
Bonjour
Vu l'expression de d_n, quelle serait l'expression d'une série de terme général d_n ?
Ensuite, on montre que u_n converge comme on montre qu'une série converge. Peut être un DL, une majoration, je ne sais pas mais il y a fort à parier que c'est ça. Et vu l'expression de d_n, je pencherais plutôt pour le DL
Pour ta première question : une astuce fréquente, utiliser un télescopage :
Soit .
,
d'où tu déduis évidemment que
.
Bonjour
Vu l'expression de d_n, quelle serait l'expression d'une série de terme général d_n ?
Ensuite, on montre que u_n converge comme on montre qu'une série converge. Peut être un DL, une majoration, je ne sais pas mais il y a fort à parier que c'est ça. Et vu l'expression de d_n, je pencherais plutôt pour le DL
Si les DL étaient à sa portée, il n'aurait pas eu cette indication, on aurait directement
TheCrock, pourrais-tu nous dire si tu as vu en cours la notation de Landau, la notion d'équivalents, de développements limités ?
tout cela est loin
Bonjour,
Nous n'avons pas encore vu la notion d'équivalent, ni de développements limités, d'où l'ouverture de ce sujet
Merci pour la réponse MattZolotarev vous m'avancez bien pour la deuxième question
Re bonjour, j'ai donc continué à chercher, mais j'arrive à quelque chose qui me semble douteux
J'ai donc l'encadrement avec dn et -1/12n2
et l'expression de un en fonction des termes de la suite (dk)k,
J'ai donc "sommé" l'inégalité de 2 à n-1 (car si k = 1, ce n'est pas défini) et apparaît une somme télescopique sur le membre le plus a gauche
Cependant, j'arrive à un encadrement assez bizarre :
u2 + 1/12(n-1) - 1/12 unu2
Je pense avoir fait une erreur quelque part, ou je n'ai tout simplement pas le bon raisonnement,
Si vous aviez encore quelques indications, Merci beaucoup
Un dernier petit indice, si tu n'as pas trouvé la solution à ce jour :
Tu as que, pour tout ,
.
Ok ! Donc cela signifie que la suite
est décroissante au moins à partir de
Si tu arrives à sommer correctement l'encadrement donné (qui est vrai pour n supérieur ou égal à 2) pour faire apparaître un encadrement de , ce que tu as essayé de faire (mais je trouve autre chose), tu devrais pouvoir montrer que
est minorée. Et... que dire d'une suite décroissante minorée ?
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