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Niveau Maths sup
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Equivalent de stirling

Posté par
TheCrock
02-01-24 à 15:22

Bonjour, je dois faire un dm sur les intégrales de Wallis et l'équivalent de Stirling. J'en suis a la partie sur l'équivalent de Stirling.
Tout d'abord, je vous donne le sujet :

On note sn = (n! * en) /  (nn * n)

Puis : un = ln(sn)
Et dn = un+1 - un

1) Tout d'abord, il faut donner une expression en fonction de n de dn

Pour cela, j'ai trouvé comme expression :
dn = 1+ln(1+1/n) * 1/2    Est-ce correct ?

Puis, (donné dans l'ennoncé),  on admet que :

x>0 :
                0(1+x/2)ln(1+x)-xx3/12


En déduire : l'encadrement  
n2  
             (1/12n) - (1/(12(n-1)))-1/12n2dn0



Et la je ne vois pas du tout comment faire, si vous pouviez me donner quelques indications,
Merci

Posté par
MattZolotarev
re : Equivalent de stirling 02-01-24 à 17:16

Bonjour, pour commencer, je ne suis pas d'accord avec toi sur l'expression de d_n en fonction de n !

Sauf erreur de ma part, on trouve d_n=1-\left ( \dfrac{1}{2}+n\right )\ln\left ( 1+\dfrac{1}{n}\right )

Pour la suite, en déduire une expression de \dfrac{d_n}{n}, puis utiliser le résultat admis en posant x=\dfrac{1}{n} dans l'expression obtenue.

Posté par
TheCrock
re : Equivalent de stirling 02-01-24 à 21:57

Oui c'est bien cela pour l'expression de dn, je me suis embrouillé lors de l'écriture du message
Ensuite, effectivement, merci j'ai réussi à en déduire l'inégalité.

Cependant, vient la suite :
Exprimer un en fonction de termes de la suite (dk)k
Montrer que (un)n converge, puis que s converge vers un réel strctement positif, que l'on notera C.

Si vous avez quelques indications sur comment faire ces 2 questions, Merci beaucoup

Posté par
Zormuche
re : Equivalent de stirling 02-01-24 à 22:18

Bonjour

Vu l'expression de d_n, quelle serait l'expression d'une série de terme général d_n ?

Ensuite, on montre que u_n converge comme on montre qu'une série converge. Peut être un DL, une majoration, je ne sais pas mais il y a fort à parier que c'est ça. Et vu l'expression de d_n, je pencherais plutôt pour le DL

Posté par
MattZolotarev
re : Equivalent de stirling 02-01-24 à 22:47

Pour ta première question : une astuce fréquente, utiliser un télescopage :

Soit n\in\mathbb{N},\ n\geqslant 2.

\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum}}d_k=\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum}}(u_{k+1}-u_k)=u_n-u_1,
d'où tu déduis évidemment que
u_n=u_1+\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum}}d_k.

Posté par
MattZolotarev
re : Equivalent de stirling 02-01-24 à 22:56

Zormuche @ 02-01-2024 à 22:18

Bonjour

Vu l'expression de d_n, quelle serait l'expression d'une série de terme général d_n ?

Ensuite, on montre que u_n converge comme on montre qu'une série converge. Peut être un DL, une majoration, je ne sais pas mais il y a fort à parier que c'est ça. Et vu l'expression de d_n, je pencherais plutôt pour le DL


Si les DL étaient à sa portée, il n'aurait pas eu cette indication, on aurait directement d_n=-\dfrac{1}{12n^2}+o\left (\dfrac{1}{n^2}\right ), et puis j'imagine directement par un critère de Riemann que la série de terme général d_n converge.

TheCrock, pourrais-tu nous dire si tu as vu en cours la notation de Landau, la notion d'équivalents, de développements limités ?

Posté par
Zormuche
re : Equivalent de stirling 03-01-24 à 01:22

Mince alors, j'ai parlé trop vite tout cela est loin

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equivalent de stirling 03-01-24 à 09:11

Bonjour,
@TheCrock,
Es-tu en terminale ou en maths-sup ?

Posté par
TheCrock
re : Equivalent de stirling 03-01-24 à 10:18

Bonjour,
Nous n'avons pas encore vu la notion d'équivalent, ni de développements limités, d'où l'ouverture de ce sujet

Merci pour la réponse MattZolotarev vous m'avancez bien pour la deuxième question

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equivalent de stirling 03-01-24 à 10:41

Sylvieg @ 03-01-2024 à 09:11

Bonjour,
@TheCrock,
Es-tu en terminale ou en maths-sup ?

Posté par
TheCrock
re : Equivalent de stirling 03-01-24 à 11:15

Je suis en math sup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equivalent de stirling 03-01-24 à 11:17

Merci de mettre à jour ton profil

Posté par
TheCrock
re : Equivalent de stirling 03-01-24 à 12:35

Re bonjour, j'ai donc continué à chercher, mais j'arrive à quelque chose qui me semble douteux

J'ai donc l'encadrement avec dn et -1/12n2
et l'expression de un en fonction des termes de la suite (dk)k,

J'ai donc "sommé" l'inégalité de 2 à n-1 (car si k = 1, ce n'est pas défini) et apparaît une somme télescopique sur le membre le plus a gauche

Cependant, j'arrive à un encadrement assez bizarre :


u2 + 1/12(n-1)  -  1/12 unu2


Je pense avoir fait une erreur quelque part, ou je n'ai tout simplement pas le bon raisonnement,
Si vous aviez encore quelques indications, Merci beaucoup

Posté par
MattZolotarev
re : Equivalent de stirling 06-01-24 à 15:55

Un dernier petit indice, si tu n'as pas trouvé la solution à ce jour :

Tu as que, pour tout n\geqslant 2, d_n\leqslant 0.
Ok d_n=u_{n+1}u_n ! Donc cela signifie que la suite (u_n) est décroissante au moins à partir de n=2

Si tu arrives à sommer correctement l'encadrement donné (qui est vrai pour n supérieur ou égal à 2) pour faire apparaître un encadrement de u_n, ce que tu as essayé de faire (mais je trouve autre chose), tu devrais pouvoir montrer que (u_n) est minorée. Et... que dire d'une suite décroissante minorée ?



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