Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Équivalent Intégrale

Posté par
FerreSucre 05-06-23 à 22:51

Bonsoir, je dois montrer un certain équivalent mais incapable de faire quoique ce soit, je bloque complet depuis cet après-midi donc je viens ici dans l'espoir d'avoir de l'aide :
Voici la chose :

Soit f de $[0;b[ \to \C$ , f est continue en 0. Et de plus : $\exists{t_o}\in\R$ tel que : $|e^{-xt_o}f(x)|$ est intégrable (enfaite $e^{-xt_o}f(x) \in L^1(]a;b[)$ mais on m'a dit de simplement utiliser le module intégrable) sur $[0;b[$ avec : $b \leq +\infty$ . On doit montrer ceci :

$F(t) = \int_{0}^{b}e^{-xt}f(x)dx \sim_{t\to +\infty} \dfrac{f(0)}{t}$

Je bloque.. j'ai essayé $u = tx$ et ensuite de montrer ect… mais rien ! Merci d'avance ^^

Posté par re : Équivalent Intégrale 05-06-23 à 23:30

Bonjour FerreSucre

Comme ça, à chaud, comme f est continue en 0, j'écrirais $f(x) = f(0) + \varepsilon (x)$ où $\lim_{0} {\varepsilon}=0$

Posté par re : Équivalent Intégrale 06-06-23 à 01:03

Je ne vois pas trop quoi en faire malheureusement , au mieux je dois montrer que :

$tF(t) = \int_{0}^{tb}e^{-u}f(u/t)du \sim f(0)$

Sauf que impossible de voir, tout le monde me parle de convergence dominée ect… mais personne ne sait comment conclure rigoureusement :/

Posté par re : Équivalent Intégrale 06-06-23 à 13:23

Oui, la convergence dominée, on ne va pas y couper ! Essayons une trame de raisonnement :

$f(x) = f(0) + \varepsilon(x),~x\in [0,b[$ avec $\lim_{0} {\varepsilon}=0$

Soit $t \geq t_0$ .

Il est alors immédiat que $|e^{-xt}f(x)|\leq |e^{-xt_o}f(x)|$ uniformément sur $[0,b[$

Par conséquent, la fonction $g(t,x) = e^{-xt}f(x)$ est intégrable pour tout $t \geq t_0$ sur l'intervalle $[0,b[$

Posons $F(t) = \int_{0}^{b}g(t,x)dx$ pour $t \geq t_0$ (pour $t<t_0$ , on ne sait pas ce qu'il se passe); d'après ce qui est au-dessus, F est bien définie sur $[t_0,\rightarrow[$

Pour étudier le comportement de F en l'infini, il suffit de le faire sur toute suite qui tend vers l'infini en croissant.

Soit $(t_n)_n$ une telle suite avec la condition que $t_0$ est celui de l'énoncé.

On pose $g_n(x) = g(t_n,x)$ .

Il est clair que $|g_n(x)| \leq |e^{-xt_o}f(x)|$ donc $g_n$ est dominée par $g_0$ , intégrable, uniformément en n.

Donc, maintenant, on se fait plaisir :

$F(t_n) = \int_{0}^{b}e^{-xt_n}f(0)dx + \int_{0}^{b}e^{-xt_n}\varepsilon(x)dx$

$F(t_n) = \frac{f(0)}{t_n}-\frac{e^{-bt_n}}{t_n}f(0)+\int_{0}^{b}e^{-xt_n}\varepsilon(x)dx$

$F(t_n) = \frac{f(0)}{t_n}\left(1-e^{-bt_n}+ \frac{t_n}{f(0)}\int_{0}^{b}e^{-xt_n}\varepsilon(x)dx\right)$

Reste à montrer que la grande parenthèse tend vers 1. Ce sera de la convergence simple vers 0 pp + domination pour le dernier terme.

Après ce calcul purement formel, on peut se demander ce qu'il se passe si f(0) = 0 ou si b est infini.

Posté par re : Équivalent Intégrale 06-06-23 à 16:36

J'ai eu le corrigé finalement qui est plus simple j'ai du mal à suivre vos idées , mais j'aurais quand même une question :
Comme f est continue en 0 alors elle est bornée au voisinage de 0 :

$\exists{M}$ tel que $0 \leq x \leq \alpha \Rightarrow |f(x)| \leq M$

On en déduit comme :

$tF(t) = \int_{0}^{t\alpha}e^{-u}f(u/t)du + \int_{t\alpha}^{tb}e^{-u}f(u/t)du$

Pour la première integrale on peut appliquer le théorème de convergence dominée :
$|e^{-u}f(u/t)X_{[0;t\alpha]}(u)| \leq Me^{-u}$

Ou $X_{[0;t\alpha]}(u)$ est la fonction indicatrice qui vaut 1 si u € [0;t alpha] et 0 sinon.
Donc comme $Me^{-u}$ intégrable alors :

$\lim_{t\to +\infty} \int_{0}^{t\alpha}e^{-u}f(u/t)dt = \int_{0}^{+\infty}e^{-u}f(0)du = f(0)$

Et pour l'intégrale de $t\alpha$ à $tb$ . On revient sur notre changement de variable donc on a : $= \int_{\alpha}^{b}e^{-tx}f(x)dx \leq e^{-h\alpha}\int_{\alpha}^{b}e^{-t_ox}f(x)dx \to 0$

Ou $t = t_o + h$
J'ai écris tout le corrigé voilà seulement une question me tâtait on peut appliquer le TCD lorsque une des bornes dépend de « t » ici ?? Je veux dire on appliquer le tcd sur t alpha, je l'ai toujours appliquer que sur des bornes « fixé » genre l'infini ou une borne fini mais ouverte ?

Posté par re : Équivalent Intégrale 06-06-23 à 16:42

J'ai du mal à voir après avoir bien lu ce que tu as fait comment tu conclus dans ta démonstration, pour l'intégrale de droite avec epsilon(x) parcontre 😅

Posté par re : Équivalent Intégrale 06-06-23 à 18:14

Effectivement, la correction est plus simple que ce que je propose qui laisse des questions en suspens !

Citation :
on peut appliquer le TCD lorsque une des bornes dépend de « t » ici ??

La souplesse des indicatrices semble le permettre :

$\int_{0}^{t}f(t,x)dx = \int _{0}^{\infty}f(t,x).\bold 1_{[0,t]}(x)dx$ .

Posté par re : Équivalent Intégrale 06-06-23 à 18:59

Hmm d'accord jolie en tout cas l'indicatrice dans le TCD j'avais jamais vu ça… mais bon merci pour ton point de vue / aide !!
Bonne soirée !

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