Niveau maths spé

equivalent-integrale a parametre

Posté par
Yosh2 03-07-22 à 13:11

Bonjour
Pourriez vous m'aider pour l'exo suivant
$S(x) = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin(t)}{e^{xt}-1}dt$

1/ mq S est developpable en serie de fonctions fractionnelles .
2/ trouver un equivalent de S en 0

j'ai d'abord cherche le domaine de definition de S qui est ]0,[, j'ai ensuite pense au DSE de $\dfrac{1}{1-e^{xt}}$ sauf que l'exp n'appartient pas toujours au disque de convergence. j'ai ensuite essayer d'ecrire le DSE de sinus et celui de l'exp au denominateur , mais la j'ai deux souci le rapport de deux serie entieres ne figure pas au programme , et juste en essayant d'intervertir la somme et l'integrale du DSE de sinus , j'ai du mal a montrer que l'integrande $\int_{0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{t^{2n+1}}{(2n+1)!(e^{xt}-1)}dt$ est Terme general d'une serie convergente

merci

Posté par re : equivalent-integrale a parametre 03-07-22 à 16:56

Bonjour Yosh2

une petite astuce ! $\Large \boxed{\frac{1}{e^{xt}-1}=\frac{e^{-xt}}{1-e^{-xt}}}$

Posté par re : equivalent-integrale a parametre 03-07-22 à 18:20

Si mes calculs sont bons je trouve $\Large \boxed{\forall x\in\mathbb R_+^*~~,~~\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{e^{xt}-1}~dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2x^2}}$ _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : equivalent-integrale a parametre 03-07-22 à 19:43

oui tout a fait , c'est l'astuce qu'il fallait , je l'avais deja rencontre pourtant je ne m'en suis pas souvenu ^^. Pour le calcul je trouve la meme serie que vous .
puis grace a une comparaison serie integrale on trouve $S(x) \sim \dfrac{\pi}{2x}$ en 0

merci a vous

Posté par re : equivalent-integrale a parametre 03-07-22 à 20:41

Je m'explique :

$\boxed{1}$ Pour $\boxed{n\in\mathbb N^*~;~u\in]0,1[}$ on peut écrire $\Large \boxed{\frac{u}{1-u}=\frac{u-u^{n+1}}{1-u}~+~\frac{u^{n+1}}{1-u}=\sum_{k=1}^nu^k~+~\frac{u^{n+1}}{1-u}}$

d'où pour $\boxed{x,t>0~;~u=e^{-xt}}$ on a $\Large \boxed{\frac{1}{e^{xt}-1}=\frac{u}{1-u}=\sum_{k=1}^ne^{-kxt}~+~\frac{e^{-(n+1)xt}}{1-e^{-xt}}}$

et donc $\Large \boxed{\frac{\sin t}{e^{xt}-1}=\sum_{k=1}^ne^{-kxt}\sin t~+~\frac{e^{-nxt}\sin t}{e^{xt}-1}}$

d'une part (par exemple à l'aide d'une double intégration par parties) on a pour tout réel $\boxed{\alpha>0}$ , $\boxed{\int_0^{+\infty}e^{-\alpha t}\sin t~dt=\frac{1}{1+\alpha^2}}$

et d'une autre part on vérifie assez facilement que $\boxed{\left|\frac{e^{-nxt}\sin t}{e^{xt}-1}\right|\leqslant\frac{1}{x}e^{-nxt}}$

et ainsi on a pour tout réel $\boxed{x>0}$ et tout entier naturel $\boxed{n\geqslant1}$ , $\Large \boxed{\left|\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{e^{xt}-1}~dt~-~\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+k^2x^2}\right|~\leqslant~\frac{1}{nx^2}}$

d'où le résultat en faisant tendre $n$ vers $+\infty$ _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : equivalent-integrale a parametre 03-07-22 à 23:23

De rien Yosh2

_{Tu pourras poster ta méthode pour trouver l'équivalent en de cela pourrait aider les élèves qui consulteront ce topic}

Posté par re : equivalent-integrale a parametre 05-07-22 à 16:37

Voici comment j'ai fait
on pose $g(t) = \dfrac{1}{1+x^2t^2}$
g est positive , continue et decroissante

donc     $\int_{n}^{n+1} g(t) dt <= g(n) <= \int_{n-1}^{n} g(t) dt$

puis     $\int_{1}^{\infty} g(t) dt <= S(x) <= \int_{0}^{\infty} g(t) dt$

et donc     $\dfrac{1}{x}(\pi/2 - \arctan(x) )<= S(x) <= \dfrac{\pi}{2x}$
on en deduit l'equivalent de S en 0

Posté par re : equivalent-integrale a parametre 05-07-22 à 21:15

Oui c'est tout à fait correct Yosh Bravo !

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