Bonjour,
On fabrique un graphe sur n sommets en choisissant ses arêtes "au hasard". Plus précisément, on considère le graphe
obtenu en choisissant chacune des
arêtes potentielles indépendamment avec probabilité p. Le but de ce problème est d'étudier la probabilité que
soit connexe. On s'intéressera au cas où p est de la forme :
où c est une constante fixée.
a) Soit
un n-uplet de variables aléatoires à valeurs dans {0,1} et soit
. Montrer que pour tout r tel que
on a :
où l'on a posé :
et pour
:
b) Que valent
et
?
c) On suppose dorénavant c fixé. Montrer que la quantité
, pour la variable X converge, lorsque n tend vers l'infini, vers
.
d)Montrer que
e) Calculer l'espérance du nombre de composantes connexes à 2 sommets, et constater que celle-ci tend vers zéro quand n tend vers l'infini.
f) Plus généralement, soit
le nombre de composantes connexes à t sommets. Montrer que pour
,
En déduire que la probabilité que
soit connexe tend, quand
, vers
. On admettra que
quand n tend vers l'infini.
g) Que peut-on déduire de la probabilité que
soit connexe?
Merci d'avance!!