Niveau Maths sup

Erdös et Renyi

Posté par
Rime24 25-09-24 à 16:12

Bonjour,

On fabrique un graphe sur n sommets en choisissant ses arêtes "au hasard". Plus précisément, on considère le graphe $G_{n,p}$ obtenu en choisissant chacune des $\bigl(\begin{smallmatrix}n \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr)$ arêtes potentielles indépendamment avec probabilité p. Le but de ce problème est d'étudier la probabilité que $G_{n,p}$ soit connexe. On s'intéressera au cas où p est de la forme :

$p = p(n)=\frac{ln(n)}{n} +\frac{c}{n}$ où c est une constante fixée.

a) Soit $(X_i, 1\leq i \leq n)$ un n-uplet de variables aléatoires à valeurs dans {0,1} et soit $X= \sum_{i=1}^{n}{X_i}$ . Montrer que pour tout r tel que $r\geq 1 et 2r+1\leq n$ on a :

$\sum_{k=0}^{2r+1}{(-1)^kF^{(k)}} \leq P(X=0) \leq \sum_{k=0}^{2r}{(-1)^kF^{(k)}}$

où l'on a posé : $F^{(0)}=1$ et pour $k\geq 1$ :

$F^{(k)}= \sum_{j_1 <j_2<...<j_k}^{}{E[X_{j_1}X_{j_2}...X_{j_k}]}$

b) Que valent $E[X_i]$ et $E[X]$ ?

c) On suppose dorénavant c fixé. Montrer que la quantité $F^{(k)}$ , pour la variable X converge, lorsque n tend vers l'infini, vers $\frac{e^{-ck}}{k!}$ .

d)Montrer que $\lim_{n\rightarrow \infty} {P(X=0)=e^{-e^{-c}}}$

e) Calculer l'espérance du nombre de composantes connexes à 2 sommets, et constater que celle-ci tend vers zéro quand n tend vers l'infini.

f) Plus généralement, soit $C_t$ le nombre de composantes connexes à t sommets. Montrer que pour $2\leq t\leq \frac{n}{2}$ ,

$E[C_t] \leq \frac{1}{t!}\sum_{t-1\leq k\leq\bigl(\begin{smallmatrix}t \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr)} {C_{k}^{\bigl(\begin{smallmatrix}t \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr)}(\frac{p}{1-p})^k}$

En déduire que la probabilité que $G_{n,p}$ soit connexe tend, quand $n\rightarrow +\infty$ , vers $e^{-e^{-c}} \\$ . On admettra que $\sum_{2\leq t\leq \frac{n}{2}}^{}{E[C_t]}\rightarrow 0$ quand n tend vers l'infini.

g) Que peut-on déduire de la probabilité que $G_{n,p}$ soit connexe?

Merci d'avance!!

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